Expresse d yd x em termos de x e de y, em que y=y ( x ) é uma função derivável, dada implicitamente pela equação dada.
a) y^3+sen x y=1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
;y^3+sin(xy)=1,
onde y=y(x) é derivável. Precisamos achar dfracdydx usando diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia e a do produto.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
ddxl(y^3r)+ddxl[sin(xy)r] =ddx(1)
Calculando termo a termo:
ddxl(y^3r) =3y^2,dydx, ddx(1)=0,
e pela regra da cadeia e do produto,
ddxl[sin(xy)r] =cos(xy),ddx(xy) =cos(xy),l(y + x,dydxr)
Logo a equação derivada é
3y^2dydx +cos(xy)l(y + xdydxr) =0

Passo 3

Expandindo e agrupando os termos que contêm dydx:
3y^2dydx +xcos(xy),dydx + ycos(xy) =0

Passo 4

Fatorando dydx e isolando-o, obtém-se
dydxl(3y^2+xcos(xy)r) =-,ycos(xy) Longrightarrow dydx =-ycos(xy)3y^2+xcos(xy)

Resposta

dydx =-ycos(xy)3y^2+xcos(xy)

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