Calcule o limite das sequências seguintes.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite da sequência
. O conteúdo aqui envolve somas de termos de uma sequência e limites quando
tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar saber como somar termos de uma sequência e entender como funcionam os limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte da soma
. Essa é a soma dos primeiros
números ímpares. Sabemos que a soma dos
primeiros números ímpares é igual a
. Ou seja:
Passo 3
Agora, substituímos essa soma na expressão original:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 4
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum para os dois termos. O denominador comum é
. Reescrevendo cada termo:
Subtraindo os dois:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Para calcular o limite quando
tende ao infinito, dividimos cada termo por
:
À medida que
vai para o infinito,
tende a zero. Assim, simplificamos para:
Resposta
O limite da sequência é
.