Calcule o limite das sequências seguintes.
an=1+3+5+7+cdots+(2 n-1)n+1-2 n+12

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite da sequência an = 1 + 3 + 5 + 7 + cdots + (2n-1)n + 1 - 2n + 12. O conteúdo aqui envolve somas de termos de uma sequência e limites quando n tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar saber como somar termos de uma sequência e entender como funcionam os limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da soma 1 + 3 + 5 + cdots + (2n-1). Essa é a soma dos primeiros n números ímpares. Sabemos que a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n^2. Ou seja:
1 + 3 + 5 + cdots + (2n-1) = n^2

Passo 3

Agora, substituímos essa soma na expressão original:
an = n^2n + 1 - 2n + 12
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum para os dois termos. O denominador comum é 2(n + 1). Reescrevendo cada termo:
n^2n + 1 = 2n^22(n + 1)
2n + 12 = (2n + 1)(n + 1)2(n + 1)
Subtraindo os dois:
an = 2n^2 - (2n + 1)(n + 1)2(n + 1)

Passo 5

Vamos expandir e simplificar o numerador:
2n^2 - (2n + 1)(n + 1) = 2n^2 - (2n^2 + 3n + 1) = -3n - 1
Então, a expressão fica:
an = -3n - 12(n + 1)

Passo 6

Para calcular o limite quando n tende ao infinito, dividimos cada termo por n:
an = -3 - 1n2(1 + 1n)
À medida que n vai para o infinito, 1n tende a zero. Assim, simplificamos para:
an approx -3 - 02(1 + 0) = -32

Resposta

O limite da sequência é -32.

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