a) (4 pontos) Sendo (x^2 y+x y^2) e^x y z+cos (x+y+z)=0, em que que z=f(x, y).
Encontre partial zpartial x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que relaciona as variáveis x, y e z, onde z é uma função de x e y. A equação é:
(x^2 y + x y^2) e^x y z + cos(x + y + z) = 0
Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de z em relação a x, ou seja, partial zpartial x. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que z é uma função de x e y, então sempre que tivermos z, vamos precisar usar a regra da cadeia.
Vamos derivar a expressão:
(x^2 y + x y^2) e^x y z + cos(x + y + z) = 0

Passo 3

Derivando cada parte separadamente:
  1. Primeira parte: (x^2 y + x y^2) e^x y z
    Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v'.
    • Derivada de (x^2 y + x y^2) em relação a x:
2x y + y^2
  • Derivada de e^x y z em relação a x (usando a regra da cadeia):
e^x y z cdot (y z + x y partial zpartial x)
Então, a derivada da primeira parte fica:
(2x y + y^2) e^x y z + (x^2 y + x y^2) e^x y z (y z + x y partial zpartial x)
  1. Segunda parte: cos(x + y + z)
    A derivada de cos(u) é -sin(u) cdot u'. Então:
-sin(x + y + z) cdot (1 + partial zpartial x)

Passo 4

Juntando as derivadas das duas partes, temos:
(2x y + y^2) e^x y z + (x^2 y + x y^2) e^x y z (y z + x y partial zpartial x) - sin(x + y + z) (1 + partial zpartial x) = 0

Passo 5

Nosso objetivo é isolar partial zpartial x. Vamos organizar os termos que contêm partial zpartial x de um lado e os demais termos do outro:
(x^2 y + x y^2) e^x y z x y partial zpartial x - sin(x + y + z) partial zpartial x = -(2x y + y^2) e^x y z - (x^2 y + x y^2) e^x y z y z + sin(x + y + z)

Passo 6

Fatorando partial zpartial x do lado esquerdo:
partial zpartial x ( (x^2 y + x y^2) e^x y z x y - sin(x + y + z) ) = -(2x y + y^2 + (x^2 y + x y^2) y z ) e^x y z + sin(x + y + z)

Passo 7

Isolando partial zpartial x:
partial zpartial x = -(2x y + y^2 + (x^2 y + x y^2) y z ) e^x y z + sin(x + y + z) (x^2 y + x y^2) e^x y z x y - sin(x + y + z)

Resposta

A derivada parcial de z em relação a x é:
partial zpartial x = -(2x y + y^2 + (x^2 y + x y^2) y z ) e^x y z + sin(x + y + z) (x^2 y + x y^2) e^x y z cdot x y - sin(x + y + z)

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