a) (4 pontos) Sendo
, em que que
.
Encontre
.
Encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que relaciona as variáveis
,
e
, onde
é uma função de
e
. A equação é:
Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então sempre que tivermos
, vamos precisar usar a regra da cadeia.
Vamos derivar a expressão:
Passo 3
Derivando cada parte separadamente:
-
Primeira parte:Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é . - Derivada de
em relação a :
- Derivada de
- Derivada de
em relação a (usando a regra da cadeia):
Então, a derivada da primeira parte fica:
-
Segunda parte:A derivada de
é . Então:
Passo 4
Juntando as derivadas das duas partes, temos:
Passo 5
Nosso objetivo é isolar
. Vamos organizar os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Passo 6
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 7
Isolando
:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é: