Faça o que se pede:
(5 pontos) Verifique se a função f, definida por f(x, y)=llx y^2x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) é continua em ( 0,0 ). Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma função f(x, y) definida de duas maneiras diferentes dependendo de (x, y) . O objetivo aqui é verificar se essa função é contínua no ponto (0, 0) . Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções de duas variáveis e como calcular limites quando os pontos se aproximam de (0, 0) .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. No caso de funções de duas variáveis, f(x, y) é contínua no ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) for igual a f(a, b) .
Matematicamente, isso é escrito como:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b)
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em (0, 0) . Sabemos que f(0, 0) = 0 , então precisamos calcular:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y)
e ver se esse limite é igual a 0.

Passo 3

Vamos analisar o limite da função f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) . A função é dada por:
f(x, y) = x y^2x^2 + y^4
Para encontrar esse limite, podemos tentar diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar a (0, 0) . Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite geral existe e é igual a esse valor.
Vamos começar analisando dois caminhos simples:
  1. Caminho ao longo do eixo x (onde y = 0 ):
f(x, 0) = x cdot 0^2x^2 + 0^4 = 0
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
  1. Caminho ao longo do eixo y (onde x = 0 ):
f(0, y) = 0 cdot y^20^2 + y^4 = 0
Novamente, o limite ao longo desse caminho é 0.
Até aqui, parece que o limite é 0. Mas precisamos verificar outros caminhos para ter certeza.
Vamos considerar um caminho mais geral onde y = k x^1/2 , onde k é uma constante. Isso significa que conforme x se aproxima de 0, y também se aproxima de 0.
Substituindo na função:
f(x, k x^1/2) = x cdot (k x^1/2)^2x^2 + (k x^1/2)^4 = x cdot k^2 xx^2 + k^4 x^2 = k^2 x^2x^2(1 + k^4) = k^21 + k^4
Note que, nesse caso, o limite depende do valor de k , o que significa que diferentes caminhos podem dar limites diferentes.
Por exemplo:
  • Se escolhermos k = 1 , o limite será 12 .
  • Se escolhermos k = 0 , já vimos que o limite é 0.
Isso mostra que o limite da função f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) não é único, ou seja, depende do caminho escolhido.

Resposta

Como o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) depende do caminho seguido e não é único, concluímos que a função f não é contínua em (0, 0) .

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