Calcule o limite das sequências seguintes.
an=2^n+1+3^n+12^n+3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da sequência an = 2^n+1 + 3^n+12^n + 3^n . Isso faz parte do estudo de sequências e limites em matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências se comportam conforme n cresce e identificar qual termo domina na expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Perceba que a expressão tem potências de 2 e 3. A gente sabe que, conforme n aumenta, 3^n cresce muito mais rápido que 2^n . Então, vamos fatorar 3^n do numerador e do denominador.

Passo 3

Vamos reescrever o numerador e o denominador fatorando 3^n :
an = 2^n+1 + 3^n+12^n + 3^n = 2 cdot 2^n + 3 cdot 3^n2^n + 3^n = 3^n ( 2 cdot 2^n3^n + 3 )3^n ( 2^n3^n + 1 )

Passo 4

Agora, podemos simplificar 3^n que está no numerador e denominador:
an = 2 cdot 2^n3^n + 32^n3^n + 1

Passo 5

Observamos que 2^n3^n = ( 23 )^n . Conforme n tende ao infinito, ( 23 )^n vai para zero, porque 23 < 1 .

Passo 6

Substituindo esse comportamento no an :
an = 0 + 30 + 1 = 31 = 3

Resposta

O limite da sequência an = 2^n+1 + 3^n+12^n + 3^n quando n tende ao infinito é 3.

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