Faça o que se pede:
(4 pontos) Calcule, se existir,
lim (x, y) (0,0) x^2 y^39 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Vamos precisar analisar a função x^2 y^39 x^2+y^2 e ver como ela se comporta perto do ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente x = 0 e y = 0 na função para ver o que acontece:
0^2 cdot 0^39 cdot 0^2 + 0^2 = 00
Isso resulta em uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos investigar mais a fundo para encontrar o limite.

Passo 3

Uma maneira de resolver esse tipo de limite é verificar se o resultado depende do caminho que escolhemos para chegar ao ponto (0,0). Se o limite for o mesmo para diferentes caminhos, então podemos afirmar que o limite existe e é igual a esse valor comum.

Passo 4

Vamos começar aproximando-se ao longo do eixo x, ou seja, fixando y = 0:
x^2 cdot 0^39 x^2 + 0^2 = 09x^2 = 0
Então, ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos aproximar-se ao longo do eixo y, fixando x = 0:
0^2 cdot y^39 cdot 0^2 + y^2 = 0y^2 = 0
Assim, ao longo do eixo y, o limite também é 0.

Passo 6

Vamos testar outro caminho, por exemplo, y = kx, onde k é uma constante. Substituindo na função:
x^2 cdot (k x)^39 x^2 + (k x)^2 = x^2 cdot k^3 x^39 x^2 + k^2 x^2 = k^3 x^5x^2 (9 + k^2) = k^3 x^39 + k^2
À medida que x tende a 0, x^3 também tende a 0, então o limite é 0 para qualquer valor de k.

Passo 7

Para confirmar que o limite é realmente 0 independentemente do caminho, podemos usar coordenadas polares. Nessa abordagem, expressamos x e y em termos de r e theta, onde r é a distância ao ponto (0,0) e theta é o ângulo.
Substituindo x = r cos theta e y = r sin theta:
(r cos theta)^2 (r sin theta)^39 (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 cos^2 theta cdot r^3 sin^3 theta9 r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^5 cos^2 theta sin^3 thetar^2 (9 cos^2 theta + sin^2 theta) = r^3 cos^2 theta sin^3 theta9 cos^2 theta + sin^2 theta
Como r^3 tende a 0 quando r tende a 0, e o denominador 9 cos^2 theta + sin^2 theta é sempre positivo e finito, o limite geral também é 0.

Resposta

O limite é 0.

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