Faça o que se pede:
(4 pontos) Calcule, se existir,
(4 pontos) Calcule, se existir,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Vamos precisar analisar a função
e ver como ela se comporta perto do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
e
na função para ver o que acontece:
Isso resulta em uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos investigar mais a fundo para encontrar o limite.
Passo 3
Uma maneira de resolver esse tipo de limite é verificar se o resultado depende do caminho que escolhemos para chegar ao ponto
. Se o limite for o mesmo para diferentes caminhos, então podemos afirmar que o limite existe e é igual a esse valor comum.
Passo 4
Vamos começar aproximando-se ao longo do eixo
, ou seja, fixando
:
Então, ao longo do eixo
, o limite é
.
Passo 5
Agora, vamos aproximar-se ao longo do eixo
, fixando
:
Assim, ao longo do eixo
, o limite também é
.
Passo 6
Vamos testar outro caminho, por exemplo,
, onde
é uma constante. Substituindo na função:
À medida que
tende a
,
também tende a
, então o limite é
para qualquer valor de
.
Passo 7
Para confirmar que o limite é realmente
independentemente do caminho, podemos usar coordenadas polares. Nessa abordagem, expressamos
e
em termos de
e
, onde
é a distância ao ponto
e
é o ângulo.
Substituindo
e
:
Como
tende a
quando
tende a
, e o denominador
é sempre positivo e finito, o limite geral também é
.
Resposta
O limite é
.