Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (EDP) chamada de Equação da Onda, representada por:
utt = uxx
Essa equação descreve como uma onda se propaga ao longo do tempo e do espaço dentro do intervalo 0 < x < 30 e para t > 0. As condições fornecidas são:
Condições iniciais:
A posição inicial da onda é u(x, 0) = 0.
A velocidade inicial da onda é ut(x, 0) = 2x.
Condições de contorno:
As extremidades x = 0 e x = 30 estão fixas, ou seja, u(0, t) = 0 e u(30, t) = 0 para todo t > 0.
Para resolver essa EDP, vamos utilizar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier, que nos ajudam a decompor a solução em partes mais simples.
Passo 2
Separação de Variáveis
Assumimos que a solução u(x, t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de t:
u(x, t) = X(x)T(t)
Substituindo essa forma na equação da onda utt = uxx:
X(x)T''(t) = X''(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por X(x)T(t):
T''(t)T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante chamada de autovalor. Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para T(t):
T''(t) + lambda T(t) = 0
Para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0
Passo 3
Solução para X(x) com as Condições de Contorno
As condições de contorno são u(0, t) = 0 e u(30, t) = 0. Substituindo u(x, t) = X(x)T(t), temos:
X(0)T(t) = 0 Rightarrow X(0) = 0
X(30)T(t) = 0 Rightarrow X(30) = 0
Então, a equação para X(x) fica:
X''(x) + lambda X(x) = 0
X(0) = 0
X(30) = 0
Essa é uma equação diferencial ordinária com condições de contorno de Dirichlet. As soluções não triviais existem apenas para certos valores de lambda, chamados de autovalores, e as funções correspondentes X(x) são chamadas de autofunções.
A solução geral para X(x) depende do sinal de lambda:
Se lambda > 0, temos soluções senoidais.
Se lambda = 0, a solução é linear.
Se lambda < 0, as soluções são exponenciais.
No nosso caso, para obter soluções não triviais que satisfaçam as condições de contorno, lambda deve ser positivo. Assim, assumimos lambda = (npi30)^2, onde n é um número inteiro positivo.
Então, as autofunções são:
Xn(x) = sin(npi x30)
Passo 4
Solução para T(t)
Usando lambda = (npi30)^2, a equação para T(t) fica:
T''(t) + (npi30)^2 T(t) = 0
A solução geral dessa equação é:
Tn(t) = An cos(npi30 t) + Bn sin(npi30 t)
Onde An e Bn são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Solução Geral da Equação da Onda
Combinando as soluções para Xn(x) e Tn(t), a solução geral da equação da onda é uma soma infinita de modos vibratórios: