Resolver o seguinte PVIC:
(P V I C) ut t & =ux x, & 0<x<30, t>0 u(x, 0) & =0, & 0<x<30 ut(x, 0) & =2 x, & 0<x<30 u(0, t) & =0, & t>0 u(30, t) & =0, & t>0

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (EDP) chamada de Equação da Onda, representada por:
utt = uxx
Essa equação descreve como uma onda se propaga ao longo do tempo e do espaço dentro do intervalo 0 < x < 30 e para t > 0. As condições fornecidas são:
  • Condições iniciais:
    • A posição inicial da onda é u(x, 0) = 0.
    • A velocidade inicial da onda é ut(x, 0) = 2x.
  • Condições de contorno:
    • As extremidades x = 0 e x = 30 estão fixas, ou seja, u(0, t) = 0 e u(30, t) = 0 para todo t > 0.
Para resolver essa EDP, vamos utilizar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier, que nos ajudam a decompor a solução em partes mais simples.

Passo 2

Separação de Variáveis
Assumimos que a solução u(x, t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de t:
u(x, t) = X(x)T(t)
Substituindo essa forma na equação da onda utt = uxx:
X(x)T''(t) = X''(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por X(x)T(t):
T''(t)T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante chamada de autovalor. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para T(t):
T''(t) + lambda T(t) = 0
  1. Para X(x):
X''(x) + lambda X(x) = 0

Passo 3

Solução para X(x) com as Condições de Contorno
As condições de contorno são u(0, t) = 0 e u(30, t) = 0. Substituindo u(x, t) = X(x)T(t), temos:
X(0)T(t) = 0 Rightarrow X(0) = 0
X(30)T(t) = 0 Rightarrow X(30) = 0
Então, a equação para X(x) fica:
X''(x) + lambda X(x) = 0
X(0) = 0
X(30) = 0
Essa é uma equação diferencial ordinária com condições de contorno de Dirichlet. As soluções não triviais existem apenas para certos valores de lambda, chamados de autovalores, e as funções correspondentes X(x) são chamadas de autofunções.
A solução geral para X(x) depende do sinal de lambda:
  • Se lambda > 0, temos soluções senoidais.
  • Se lambda = 0, a solução é linear.
  • Se lambda < 0, as soluções são exponenciais.
No nosso caso, para obter soluções não triviais que satisfaçam as condições de contorno, lambda deve ser positivo. Assim, assumimos lambda = (npi30)^2, onde n é um número inteiro positivo.
Então, as autofunções são:
Xn(x) = sin(npi x30)

Passo 4

Solução para T(t)
Usando lambda = (npi30)^2, a equação para T(t) fica:
T''(t) + (npi30)^2 T(t) = 0
A solução geral dessa equação é:
Tn(t) = An cos(npi30 t) + Bn sin(npi30 t)
Onde An e Bn são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Solução Geral da Equação da Onda
Combinando as soluções para Xn(x) e Tn(t), a solução geral da equação da onda é uma soma infinita de modos vibratórios:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi30 t) + Bn sin(npi30 t) ] sin(npi x30)

Passo 6

Aplicando as Condições Iniciais
Temos duas condições iniciais:
  1. u(x, 0) = 0:
u(x, 0) = sumn=1^infty An sin(npi x30) = 0
Isso implica que todos os An = 0.
  1. ut(x, 0) = 2x:
    Primeiro, calculamos a derivada de u(x, t) em relação a t:
ut(x, t) = sumn=1^infty npi30 Bn cos(npi30 t) sin(npi x30)
Aplicando t = 0:
ut(x, 0) = sumn=1^infty npi30 Bn sin(npi x30) = 2x

Passo 7

Determinação dos Coeficientes Bn
Para encontrar os coeficientes Bn, expandimos a função 2x em uma série de senos:
2x = sumn=1^infty npi30 Bn sin(npi x30)
Multiplicamos ambos os lados por sin(mpi x30) e integramos de 0 a 30 para utilizar a ortogonalidade das funções seno:
integral0^30 2x sin(mpi x30) dx = sumn=1^infty npi30 Bn integral0^30 sin(npi x30) sin(mpi x30) dx
Devido à ortogonalidade, todos os termos do lado direito desaparecem, exceto quando n = m:
integral0^30 2x sin(mpi x30) dx = mpi30 Bm cdot 302 = mpi2 Bm
Portanto:
Bm = 2mpi integral0^30 2x sin(mpi x30) dx

Passo 8

Calculando a Integral para Bm
Vamos calcular a integral:
integral0^30 2x sin(mpi x30) dx
Usamos integração por partes, onde:
u = 2x Rightarrow du = 2 dx
dv = sin(mpi x30) dx Rightarrow v = -30mpi cos(mpi x30)
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Portanto:
integral0^30 2x sin(mpi x30) dx = -60xmpi cos(mpi x30) g|0^30 + 60mpi integral0^30 cos(mpi x30) dx
Calculando os limites:
-60 cdot 30mpi cos(mpi) + 60 cdot 0mpi cos(0) = -1800mpi cos(mpi)
E a segunda integral:
60mpi [ 30mpi sin(mpi x30) ]0^30 = 1800(mpi)^2 [ sin(mpi) - 0 ] = 0
Portanto:
integral0^30 2x sin(mpi x30) dx = -1800mpi cos(mpi)

Passo 9

Encontrando Bm
Substituindo na expressão de Bm:
Bm = 2mpi ( -1800mpi cos(mpi) ) = -3600(mpi)^2 cos(mpi)
Sabemos que cos(mpi) = (-1)^m, então:
Bm = -3600(mpi)^2 (-1)^m = 3600 (-1)^m(mpi)^2

Passo 10

Solução Final
Substituindo todos os coeficientes encontrados na solução geral, temos:
u(x, t) = sumn=1^infty [ 3600 (-1)^n(npi)^2 sin(npi30 t) ] sin(npi x30)
Essa é a solução da equação da onda com as condições iniciais e de contorno fornecidas.

Resposta

A solução da equação da onda dada é:
u(x, t) = sumn=1^infty 3600 (-1)^n(npi)^2 sin(npi t30) sin(npi x30)

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