Calcule o limite das sequências seguintes.
an=n sen n!n^2+1

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=nsen(n!)n^2+1
e pede limntoinftyan. O conteúdo é limite de sequência, e vamos precisar usar que a função sen x é limitada e aplicar o Teorema do Confronto.

Passo 2

Usamos que para todo x vale
-1 <= sen x <= 1
Tomando x = n!, obtemos
-1 <= sen(n!) <= 1

Passo 3

Multiplicando essa desigualdade por n>=0, temos
-n <= n,sen(n!) <= n
Em seguida dividimos por n^2+1>0, obtendo
-nn^2+1 <= n,sen(n!)n^2+1 <= nn^2+1
Ou seja,
-nn^2+1 <= an <= nn^2+1

Passo 4

Calculamos o limite das sequências de contorno. Note que
nn^2+1 = 1n,11+tfrac1n^2
e portanto
limntoinftynn^2+1 = limntoinfty1n,cdot1 = 0
Analogamente
limntoinftyl(-nn^2+1r)=0

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como
-nn^2+1<= an<=nn^2+1
e ambos os limites das extremas são 0, conclui-se que
limntoinftyan=0

Resposta

boxed0

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