Considere a função f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x-5.
a) Encontre os pontos críticos de f(x).
b) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e decrescente.
c) Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local usando o teste da primeira derivada.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x-5
e pede:
a) pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe),
b) intervalos de crescimento e decrescimento (analisando o sinal de f'),
c) classificação dos pontos críticos por meio do teste da primeira derivada.
Para isso, vamos calcular f'(x), resolver f'(x)=0, estudar o sinal de f' e aplicar o teste da primeira derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-6x^{2}+12x-5\bigr) =3x^{2}-12x+12.

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo
f'(x)=0\implies 3x^{2}-12x+12=0\implies x^{2}-4x+4=0\implies(x-2)^{2}=0.
Logo há um único ponto crítico em x=2.

Passo 4

Para determinar intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de
f'(x)=3(x-2)^{2}.
Como (x-2)^{2}\ge0 para todo x e só zera em x=2, temos
f'(x)>0 em (-\infty,2) e em (2,\infty),
f'(x)=0 apenas em x=2.
Portanto f é crescente em (-\infty,2) e em (2,\infty), e não há intervalo em que f'(x)<0 (logo não há decrescimento).

Passo 5

Pelo teste da primeira derivada, um ponto crítico é máximo local se f' muda de positivo para negativo ao atravessá-lo, e mínimo local se muda de negativo para positivo. Aqui, como f'(x) é positivo imediatamente à esquerda de 2 e também imediatamente à direita de 2, não há mudança de sinal. Logo o ponto crítico x=2 não é nem máximo nem mínimo local (às vezes chamado de ponto de inflexão horizontal).

Resposta

a) O único ponto crítico é x=2.
b) f é crescente em (-\infty,2) e em (2,\infty); não há intervalos de decrescimento.
c) Em x=2 não ocorre mudança de sinal de f', logo não há máximo nem mínimo local.

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