Considere a função
.
a) Encontre os pontos críticos de
.
b) Determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
c) Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local usando o teste da primeira derivada.
a) Encontre os pontos críticos de
b) Determine os intervalos onde
c) Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local usando o teste da primeira derivada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) pontos críticos (onde ou
não existe),
b) intervalos de crescimento e decrescimento (analisando o sinal de ),
c) classificação dos pontos críticos por meio do teste da primeira derivada.
Para isso, vamos calcular , resolver
, estudar o sinal de
e aplicar o teste da primeira derivada.
a) pontos críticos (onde
b) intervalos de crescimento e decrescimento (analisando o sinal de
c) classificação dos pontos críticos por meio do teste da primeira derivada.
Para isso, vamos calcular
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo
Logo há um único ponto crítico em
Passo 4
Para determinar intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de
Como
para todo
e só zera em
, temos
– em
e em
,
– apenas em
.
Portanto é crescente em
e em
, e não há intervalo em que
(logo não há decrescimento).
–
–
Portanto
Passo 5
Pelo teste da primeira derivada, um ponto crítico é máximo local se
muda de positivo para negativo ao atravessá-lo, e mínimo local se muda de negativo para positivo. Aqui, como
é positivo imediatamente à esquerda de
e também imediatamente à direita de
, não há mudança de sinal. Logo o ponto crítico
não é nem máximo nem mínimo local (às vezes chamado de ponto de inflexão horizontal).
Resposta
a) O único ponto crítico é
.
b) é crescente em
e em
; não há intervalos de decrescimento.
c) Em não ocorre mudança de sinal de
, logo não há máximo nem mínimo local.
b)
c) Em