Calcule o limite sem usar o método de Bernoulli-l’Hôpital. Se não existir, justifique.
\lim _{x \rightarrow-3^{+}} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+6 x+9}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -3^+}\frac{x^{2}-9}{x^{2}+6x+9}.
O conteúdo é limite lateral de uma função racional que gera forma indeterminada 0/0. Para resolver sem Bernoulli–l’Hôpital, vamos usar fatoração de polinômios e análise do sinal de cada fator próximo de x=-3.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-9=(x-3)(x+3),
x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}.
Para x\neq -3, a expressão simplifica-se a
\frac{x^{2}-9}{x^{2}+6x+9} =\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^{2}} =\frac{x-3}{x+3}.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de \frac{x-3}{x+3} quando x\to -3^+:
  • O numerador x-3 tende a -3-3=-6.
  • O denominador x+3 tende a 0 pelo lado positivo (já que x>-3).
Logo, numerador aproxima-se de uma constante negativa e denominador aproxima-se de zero positivo.

Passo 4

Quando o numerador tende a um valor negativo não nulo e o denominador tende a zero pelo lado positivo, o quociente cai sem limite, ou seja, tende a -\infty.

Resposta

\lim_{x\to -3^+}\frac{x^{2}-9}{x^{2}+6x+9} = -\infty.

Exercícios relacionados