Considere um sistema massa-mola sem amortecimento, sujeito a uma força harmônica na frequência natural do sistema:
-
-
(sem amortecimento)
-
-
A equação do movimento é:
a) Determine a solução geral do problema, sabendo que as condições iniciais são:
e
.
b) Verifique se a solução encontrada satisfaz o PVI.
c) Plote em algum software gráfico, separadamente, a solução homogênea, solução particular e solução geral no intervalo
. (Coloque aqui
imagem(ns)). Explique, com suas próprias palavras, como os gráficos obtidos refletem as soluções analíticas, destacando correspondências em amplitude, comportamento transitório e permanente, entre outros.
a) Determine a solução geral do problema, sabendo que as condições iniciais são:
b) Verifique se a solução encontrada satisfaz o PVI.
c) Plote em algum software gráfico, separadamente, a solução homogênea, solução particular e solução geral no intervalo
Passo 1
O enunciado descreve um oscilador massa-mola sem amortecimento, com massa
, rigidez
e força externa
. A equação do movimento é
Vamos resolver esse PVI encontrando a solução homogênea, a particular (observando que há ressonância, pois a frequência de forçamento
coincide com a frequência natural
) e aplicando as condições iniciais
,
.
Passo 2
Encontramos a solução da equação homogênea
O polinômio característico é
, com raízes
. Logo
Passo 3
Como há ressonância, usamos o ansatz
Calculando
logo
Portanto
Passo 4
A solução geral é
Agora impomos
e
. Em
:
Diferenciando
em
dá
, logo
. Assim
Passo 5
Verificamos que essa
satisfaz
- Condições iniciais:
, . - Equação de movimento: ao calcular
substituindo e suas derivadas, recupera-se exatamente .
Passo 6
Para
:
- A solução homogênea
é uma oscilação de amplitude unitária e período . - A particular
tem amplitude que cresce linearmente em , também com frequência . - A solução geral
mostra oscilações cuja amplitude cresce com o tempo. Não há decaimento de um termo transitório porque ; em vez disso, o termo domina para grande, refletindo a ressonância e o crescimento não amortecido.
Resposta
a)
b) Confere-se diretamente ,
e
.
c) Gráficos (não apresentados aqui) mostram:
a oscilação pura de amplitude constante;
a resposta particular de amplitude linear crescente;
e a soma, que exibe oscilações de frequência com amplitude que cresce sem limite devido à ressonância.
b) Confere-se diretamente
c) Gráficos (não apresentados aqui) mostram:
a oscilação pura
a resposta particular de amplitude linear crescente;
e a soma, que exibe oscilações de frequência