Considere um sistema massa-mola sem amortecimento, sujeito a uma força harmônica na frequência natural do sistema:
  • m=1 \mathrm{~kg}
  • b=0 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m} (sem amortecimento)
  • k=4 \mathrm{~N} / \mathrm{m}
  • F(t)=10 \cos (2 t) N
A equação do movimento é: x^{\prime \prime}(t)+4 x(t)=10 \cos (2 t)
a) Determine a solução geral do problema, sabendo que as condições iniciais são: x(0)=1 e x^{\prime}(0)=0.
b) Verifique se a solução encontrada satisfaz o PVI.
c) Plote em algum software gráfico, separadamente, a solução homogênea, solução particular e solução geral no intervalo 0 \leq t \leq 10 \mathrm{~s}. (Coloque aqui \mathrm{a}(\mathrm{s}) imagem(ns)). Explique, com suas próprias palavras, como os gráficos obtidos refletem as soluções analíticas, destacando correspondências em amplitude, comportamento transitório e permanente, entre outros.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa-mola sem amortecimento, com massa m=1, rigidez k=4 e força externa F(t)=10\cos(2t). A equação do movimento é
x''(t)+4\,x(t)=10\cos(2t).
Vamos resolver esse PVI encontrando a solução homogênea, a particular (observando que há ressonância, pois a frequência de forçamento \omega=2 coincide com a frequência natural \sqrt{k/m}=2) e aplicando as condições iniciais x(0)=1, x'(0)=0.

Passo 2

Encontramos a solução da equação homogênea
x_h''+4\,x_h=0.
O polinômio característico é r^2+4=0, com raízes r=\pm2i. Logo
x_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t).

Passo 3

Como há ressonância, usamos o ansatz
x_p(t)=A\,t\sin(2t).
Calculando
x_p'=A\sin(2t)+2A\,t\cos(2t),\qquad x_p''=4A\cos(2t)-4A\,t\sin(2t),
logo
x_p''+4x_p=4A\cos(2t)\overset{!}{=}10\cos(2t) \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{10}{4}=2{,}5.
Portanto
x_p(t)=2{,}5\,t\sin(2t).

Passo 4

A solução geral é
x(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+2{,}5\,t\sin(2t).
Agora impomos x(0)=1 e x'(0)=0. Em t=0:
x(0)=C_1=1.
Diferenciando
x'(t)=-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t) +2{,}5\sin(2t)+5\,t\cos(2t),
em t=0 x'(0)=2C_2=0, logo C_2=0. Assim
\boxed{x(t)=\cos(2t)+2{,}5\,t\sin(2t).}

Passo 5

Verificamos que essa x(t) satisfaz
  1. Condições iniciais: x(0)=1, x'(0)=0.
  2. Equação de movimento: ao calcular x''+4x substituindo x e suas derivadas, recupera-se exatamente 10\cos(2t).

Passo 6

Para 0\le t\le10:
  • A solução homogênea x_h(t)=\cos(2t) é uma oscilação de amplitude unitária e período \pi.
  • A particular x_p(t)=2{,}5\,t\sin(2t) tem amplitude que cresce linearmente em t, também com frequência 2.
  • A solução geral x(t) mostra oscilações cuja amplitude cresce com o tempo. Não há decaimento de um termo transitório porque b=0; em vez disso, o termo 2{,}5\,t\sin(2t) domina para t grande, refletindo a ressonância e o crescimento não amortecido.

Resposta

a) \displaystyle x(t)=\cos(2t)+2{,}5\,t\sin(2t).
b) Confere-se diretamente x(0)=1, x'(0)=0 e x''+4x=10\cos(2t).
c) Gráficos (não apresentados aqui) mostram:
a oscilação pura \cos(2t) de amplitude constante;
a resposta particular de amplitude linear crescente;
e a soma, que exibe oscilações de frequência 2 com amplitude que cresce sem limite devido à ressonância.

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