Classifique as EDOs abaixo como homogêneas ou do tipo Bernoulli. Para cada EDO: (i) justifique a classificação; (ii) aponte a mudança de variável adequada; (iii) reduza a EDO ao caso linear/separável; (iv) resolva e retorne às variáveis originais.
\frac{d y}{d x}-2 \frac{y}{x}=3 x y^{2}
\frac{d y}{d x}-2 \frac{y}{x}=3 x y^{2}
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO
Vamos classificar essa equação e aplicar o método adequado para resolvê-la.
Passo 2
Comparando com a forma de Bernoulli
vemos que
,
e
. Como
, trata-se de uma EDO de Bernoulli (não é linear comum nem homogênea no sentido de grau).
Passo 3
Fazemos a mudança de variável típica de Bernoulli:
Derivando,
Passo 4
Substituindo em
:
Dividindo por
e usando
:
É uma EDO linear de coeficientes em
. O fator integrante é
Multiplicando tudo por
e integrando:
Passo 5
Voltando à variável original
, chega-mos a
Resposta
onde
é uma constante arbitrária de integração.