Classifique as EDOs abaixo como homogêneas ou do tipo Bernoulli. Para cada EDO: (i) justifique a classificação; (ii) aponte a mudança de variável adequada; (iii) reduza a EDO ao caso linear/separável; (iv) resolva e retorne às variáveis originais.
\frac{d y}{d x}-2 \frac{y}{x}=3 x y^{2}

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO
\frac{dy}{dx} - 2\,\frac{y}{x} = 3x\,y^{2}.
Vamos classificar essa equação e aplicar o método adequado para resolvê-la.

Passo 2

Comparando com a forma de Bernoulli
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
vemos que P(x)=-\tfrac{2}{x}, Q(x)=3x e n=2. Como n\neq0,1, trata-se de uma EDO de Bernoulli (não é linear comum nem homogênea no sentido de grau).

Passo 3

Fazemos a mudança de variável típica de Bernoulli:
u = y^{\,1-n} = y^{-1}.
Derivando,
\frac{du}{dx} = -y^{-2}\,\frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -y^2\,\frac{du}{dx}.

Passo 4

Substituindo em \frac{dy}{dx} - 2\frac{y}{x} = 3x\,y^2:
-\,y^2\frac{du}{dx}-2\,\frac{y}{x}=3x\,y^2.
Dividindo por y^2 e usando u=y^{-1}:
-\,\frac{du}{dx}-\frac{2}{x}u=3x \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx}+\frac{2}{x}u=-3x.
É uma EDO linear de coeficientes em x. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int \frac{2}{x}dx}=x^2.
Multiplicando tudo por x^2 e integrando:
\frac{d}{dx}\bigl(x^2u\bigr)=-3x^3 \quad\Longrightarrow\quad x^2u=-\frac{3}{4}x^4 + C \quad\Longrightarrow\quad u(x)=-\frac{3}{4}x^2 + C\,x^{-2}.

Passo 5

Voltando à variável original y=u^{-1}, chega-mos a
y(x)=\frac{1}{-\tfrac{3}{4}x^2 + C\,x^{-2}}.

Resposta

y(x)=\frac{4x^2}{K - 3x^4},
onde K é uma constante arbitrária de integração.

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