( 0,6 pts) Calcule as assíntotas verticais e horizontais sem usar o método de Bernoullil’Hôpital, caso existam. Se não existir, justifique
f(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{2}+2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{2}+2x+1}.
Conteúdo: limites em pontos onde o denominador zera (assíntota vertical) e limites em x\to\pm\infty (assíntota horizontal). Vamos usar definição de assíntota vertical: reta x=a se \lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty, e assíntota horizontal: reta y=L se \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L.

Passo 2

Determinar o domínio; o denominador não pode ser zero:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}\neq0
implica x\neq -1. Então, o único candidato a assíntota vertical é x=-1.

Passo 3

Calcular o limite em x\to -1^{\pm}. Note que perto de -1
o numerador vale
x^{2}-x\bigl|_{x=-1+h}=(-1+h)^{2}-(-1+h)=1-2h+h^{2}+1-h=2-3h+h^{2}\approx2\\ (>0),
enquanto o denominador é
(x+1)^{2}=h^{2}>0.
Logo
f(x)\approx\frac{2}{h^{2}}\to+\infty\quad\text{quando }h\to0^{\pm}.
Como o limite é +\infty em ambos os lados, x=-1 é assíntota vertical.

Passo 4

Calcular o limite em x\to\pm\infty sem usar L’Hôpital. Dividimos numerador e denominador por x^{2}:
f(x) =\frac{x^{2}-x}{x^{2}+2x+1} =\frac{1-\tfrac{1}{x}}{1+\tfrac{2}{x}+\tfrac{1}{x^{2}}}.
Para x\to\pm\infty, os termos \tfrac{1}{x} e \tfrac{1}{x^{2}} vão a zero, logo
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{1-0}{1+0+0}=1.
Isso mostra que y=1 é assíntota horizontal.

Resposta

Assíntota vertical: x=-1.
Assíntota horizontal: y=1.

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