Calcule os limites:
(1) lim x 0^+(1+sen(2 x))^(1x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+l(1+sen(2x)r)^1x,
O conteúdo aqui é o limite de uma forma indeterminada do tipo (1)^infty. Para resolver, vamos usar o truque do logaritmo e limites padrão como
limuto0ln(1+u)u=1 e limxto0sen(2x)x=2.

Passo 2

Observamos que, conforme xto0^+,
sen(2x)to0 e, portanto, a base 1+sen(2x)to1 enquanto o expoente tfrac1xto+infty. Isso confirma a indeterminação (1)^infty.

Passo 3

Defina
y = l(1+sen(2x)r)^1x
Vamos calcular primeiro
ln y = 1x,lnl(1+sen(2x)r)
e, em seguida, obter o limite de y por y = e^ln y.

Passo 4

Calculemos
limxto0^+ln y = limxto0^+lnl(1+sen(2x)r)x = limxto0^+lnl(1+sen(2x)r)sen(2x) ;cdot;sen(2x)x
Usamos
limuto0ln(1+u)u=1 com u=sen(2x) e
limxto0sen(2x)x=2. Logo
limxto0^+ln y = 1cdot 2 = 2

Passo 5

Como ln yto2, temos
y = e^ln y;longrightarrow;e^2

Resposta

boxede^2

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