Calcule os limites:
(g) lim x 1 x cdot ln (x)-x+1x^3-3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite lim x 1 x cdot ln (x)-x+1x^3-3 x+2. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões e, se necessário, aplicar a Regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos formas indeterminado como 0/0 ou infty/infty.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 1 diretamente na função:
No numerador:
1 cdot ln(1) - 1 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0
No denominador:
1^3 - 3 cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Então, temos uma forma indeterminada 0/0, o que significa que podemos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se lim x a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então podemos calcular lim x a f'(x)g'(x), desde que as derivadas existam.
Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador f(x) = x ln(x) - x + 1:
Usamos a regra do produto para x ln(x):
f'(x) = ln(x) + x cdot 1x - 1 = ln(x) + 1 - 1 = ln(x)
Derivada do denominador g(x) = x^3 - 3x + 2:
g'(x) = 3x^2 - 3

Passo 4

Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital:
lim x 1 x ln (x)-x+1x^3-3 x+2 = lim x 1 ln(x)3x^2 - 3
Vamos substituir x = 1 nessa nova expressão:
No numerador:
ln(1) = 0
No denominador:
3 cdot 1^2 - 3 = 3 - 3 = 0
De novo, temos 0/0, então precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas novamente.
Derivada do novo numerador f'(x) = ln(x):
f''(x) = 1x
Derivada do novo denominador g'(x) = 3x^2 - 3:
g''(x) = 6x

Passo 6

Aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente:
lim x 1 ln(x)3x^2 - 3 = lim x 1 1x6x = lim x 1 16x^2
Agora, substituímos x = 1:
16 cdot 1^2 = 16

Resposta

O limite é 16.

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