Encontre a derivada das seguintes funções:
y=(sen(x)+2)^x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função y = (sin(x) + 2)^x^2 . Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente à derivação de funções compostas que envolvem potências onde a base e o expoente são funções de x . Para resolver, vamos precisar usar a regra da derivada de uma função da forma f(x)^g(x) , que geralmente envolve o uso de logaritmos para simplificar a derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando logaritmos para facilitar a derivação. Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
ln(y) = ln( (sin(x) + 2)^x^2 )

Passo 3

Aplicando a propriedade dos logaritmos que permite levar o expoente para a frente, temos:
ln(y) = x^2 cdot ln(sin(x) + 2)

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x . Lembrando que a derivada de ln(y) em relação a x é 1y cdot y' (regra da cadeia), e para o lado direito precisamos usar a Regra do Produto:
ddx [ln(y)] = ddx [x^2 cdot ln(sin(x) + 2)]
1y cdot y' = 2x cdot ln(sin(x) + 2) + x^2 cdot 1sin(x) + 2 cdot cos(x)

Passo 5

Agora, isolamos y' multiplicando ambos os lados por y :
y' = y [ 2x cdot ln(sin(x) + 2) + x^2 cdot cos(x)sin(x) + 2 ]

Passo 6

Lembrando que y = (sin(x) + 2)^x^2 , substituímos de volta na expressão:
y' = (sin(x) + 2)^x^2 [ 2x cdot ln(sin(x) + 2) + x^2 cdot cos(x)sin(x) + 2 ]

Resposta

A derivada da função y = (sin(x) + 2)^x^2 é:
y' = (sin(x) + 2)^x^2 ( 2x cdot ln(sin(x) + 2) + x^2 cdot cos(x)sin(x) + 2 )

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