Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente derivadas de funções que têm uma base e um expoente que dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da derivada de funções do tipo
, que envolve o uso de logaritmos e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a derivação usando logaritmos. Tirar o logaritmo natural de ambos os lados da equação nos ajuda a lidar com a exponenciação. Assim:
Passo 3
Agora, usando a propriedade do logaritmo que permite trazer o expoente para a frente, temos:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Primeiro, derivamos
:
Depois, derivamos
usando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 7
Finalmente, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Mas lembrando que
, podemos substituir de volta: