Encontre a derivada das seguintes funções:
y=(x^2+3 x-4)^ln (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função y = (x^2 + 3x - 4)^ln(x) . Estamos trabalhando com cálculo, especificamente derivadas de funções que têm uma base e um expoente que dependem de x . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da derivada de funções do tipo f(x)^g(x) , que envolve o uso de logaritmos e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a derivação usando logaritmos. Tirar o logaritmo natural de ambos os lados da equação nos ajuda a lidar com a exponenciação. Assim:
ln(y) = ln((x^2 + 3x - 4)^ln(x))

Passo 3

Agora, usando a propriedade do logaritmo que permite trazer o expoente para a frente, temos:
ln(y) = ln(x) cdot ln(x^2 + 3x - 4)

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x . Lembrando que a derivada de ln(y) em relação a x é 1y cdot dydx . Então:
1y cdot dydx = ddx[ln(x) cdot ln(x^2 + 3x - 4)]

Passo 5

Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' . Aqui, u = ln(x) e v = ln(x^2 + 3x - 4) .
Primeiro, derivamos u :
u' = 1x
Depois, derivamos v usando a regra da cadeia:
v' = 1x^2 + 3x - 4 cdot (2x + 3)

Passo 6

Agora, aplicando a regra do produto:
1y cdot dydx = 1x cdot ln(x^2 + 3x - 4) + ln(x) cdot 2x + 3x^2 + 3x - 4

Passo 7

Finalmente, isolamos dydx multiplicando ambos os lados por y :
dydx = y ( ln(x^2 + 3x - 4)x + ln(x) cdot 2x + 3x^2 + 3x - 4 )
Mas lembrando que y = (x^2 + 3x - 4)^ln(x) , podemos substituir de volta:

Resposta

dydx = (x^2 + 3x - 4)^ln(x) ( ln(x^2 + 3x - 4)x + ln(x) cdot 2x + 3x^2 + 3x - 4 )

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