Calcule os limites:
® lim x 0^+ ln (arcsen(x))cotg(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular . Esse tipo de limite dá a forma indeterminada limxto0^+ln(arcsen(x))cotg(x), e vamos usar a regra de l’Hôpital. Precisamos das derivadas de -infty/infty e de .

Passo 2

Primeiro, conferimos a indeterminação: quando xto0^+ temos arcsen(x)to0^+ e então ln(arcsen(x))to-infty. Também . Como é cotg(x)to+infty, aplicamos l’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas: em linha,
ddxl[ln(arcsen(x))r]=1arcsen(x)cdot1raiz1-x^2,

Passo 4

Assim o limite vira

Passo 5

Agora usamos as aproximações para ângulos pequenos: sin(x)approx x, arcsen(x)approx x e raiz1-x^2approx1. Então
-sin^2(x)arcsen(x)raiz1-x^2approx -x^2xcdot1=-x,

Passo 6

e portanto
limxto0^+(-x)=0

Resposta

0

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