Calcule os limites:
(a) lim x 1 arctg(x)-pi4x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos lim x 1 arctg(x)-pi4x-1. Aqui, estamos trabalhando com limites, especificamente quando a variável x se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos precisar usar uma regra conhecida como Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos indeterminações como 00.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar qual é o comportamento da expressão quando x se aproxima de 1. Substituindo x = 1 diretamente na expressão, temos:
arctg(1)-pi41-1 = pi4 - pi40 = 00
Isso nos dá uma forma indeterminada 00, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital para encontrar o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que, se temos um limite na forma 00 ou inftyinfty, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Ou seja:
lim x 1 arctg(x)-pi4x-1 = lim x 1 ddx ( arctg(x) - pi4 )ddx (x - 1)

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador: ddx arctg(x) = 11 + x^2
    A constante pi4 tem derivada zero.
  • Derivada do denominador: ddx (x - 1) = 1
Então, o limite passa a ser:
lim x 1 11 + x^21 = 11 + (1)^2 = 12

Resposta

O limite é 12.

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