f(x)=sumn=0^+infty x^nn!
a) Qual o dominio de f?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=sumn=0^+inftyx^nn!
que é um série de potências em x. O objetivo é determinar o domínio de f, ou seja, para quais valores reais de x a série converge. Para isso, vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Seja
an = x^nn!
Aplicando o teste da razão, analisamos
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |x^n+1/(n+1)!x^n/n!| = limntoinfty|x|n+1 = 0
Como L=0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente em qualquer valor real de x.

Passo 3

O resultado do teste da razão mostra que o raio de convergência da série é infinito. Logo, a série converge para todos os números reais.

Resposta

O domínio de f é
R

Exercícios relacionados