Calcule os limites:
lim x 0 raiz3 x+4-raizx+4raizx+1-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto0raiz3x+4-raizx+4raizx+1-1
O conteúdo aqui é cálculo de limites em forma de indeterminação 0/0, e vamos usar racionalização de numerador e denominador para simplificar.

Passo 2

Verificamos a substituição direta x=0:
raiz3cdot0+4-raiz0+4=2-2=0 e raiz0+1-1=1-1=0.
Portanto é 0/0, uma indeterminação que deve ser resolvida por alguma técnica, aqui a racionalização.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pelo conjugado raiz3x+4+raizx+4:
raiz3x+4-raizx+4 = (raiz3x+4-raizx+4)(raiz3x+4+raizx+4) raiz3x+4+raizx+4 = (3x+4)-(x+4)raiz3x+4+raizx+4 = 2xraiz3x+4+raizx+4

Passo 4

Racionalizamos também o denominador raizx+1-1 via seu conjugado raizx+1+1:
1raizx+1-1 = raizx+1+1(raizx+1-1)(raizx+1+1) = raizx+1+1x
Logo, a expressão original fica
2xraiz3x+4+raizx+4raizx+1-1 = 2xraiz3x+4+raizx+4 cdot1raizx+1-1 = 2xraiz3x+4+raizx+4 cdotraizx+1+1x

Passo 5

Cancelamos x e obtemos
2(raizx+1+1)raiz3x+4+raizx+4
Agora fazemos xto0:
raizx+1to1, raiz3x+4to2, raizx+4to2.
Assim
limxto0 2(raizx+1+1)raiz3x+4+raizx+4 = 2(1+1)2+2 = 44 =1

Resposta

1

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