A função x=c1 cos t+c2 sent é uma família de soluções de dois parâmetros da equação diferencial de segunda ordem x^prime prime+x^prime=0. Encontre a solução do PVI desta equação diferencial para cada uma das seguintes condições
x(pi / 6)=12, x^prime(pi / 6)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
x'' + x' = 0
com as condições iniciais
xl(tfracpi6r)=tfrac12, x'l(tfracpi6r)=0
Para resolver, vamos usar o método das raízes do polinômio característico.

Passo 2

O polinômio característico é
r^2 + r = 0
cuja solução é r(r+1)=0, ou seja,
r1 = 0, r2 = -1
Assim a solução geral é
x(t) = C1 e^0cdot t + C2 e^-t = C1 + C2 e^-t

Passo 3

Derivando, temos
x'(t) = -,C2 e^-t
Usando x'l(tfracpi6r)=0, obtemos
-,C2 e^-pi/6=0 Longrightarrow C2 = 0
Logo x(t)=C1. Aplicando xl(tfracpi6r)=tfrac12, vem
C1 = tfrac12

Resposta

x(t) = 12

Exercícios relacionados