Resolva as seguintes E.D.Os homogeneas;
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem que é homogênea. O enunciado nos dá a EDO:
E também nos fornece as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas para resolver EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso envolve encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à EDO. Para uma EDO da forma:
A equação característica é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Como o discriminante
é negativo, teremos raízes complexas.
Passo 4
Quando as raízes são complexas, elas podem ser escritas na forma:
No nosso caso:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com raízes complexas, a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, aplicamos
e
:
Resolvendo para
:
Resposta
Então, a solução da EDO com as condições iniciais dadas é: