Resolva as seguintes E.D.Os homogeneas;
(PVI) 4 y^prime prime+4 y^prime+17 y=0 ; y(0)=1 ; y^prime(0)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem que é homogênea. O enunciado nos dá a EDO:
4 y'' + 4 y' + 17 y = 0
E também nos fornece as condições iniciais:
y(0) = 1 e y'(0) = 2
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas para resolver EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso envolve encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à EDO. Para uma EDO da forma:
a y'' + b y' + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, a = 4 , b = 4 e c = 17 . Então, a equação característica fica:
4 r^2 + 4 r + 17 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
r = -4 pm raiz4^2 - 4 cdot 4 cdot 172 cdot 4 = -4 pm raiz16 - 2728 = -4 pm raiz-2568
Como o discriminante De<a = -256 é negativo, teremos raízes complexas.

Passo 4

Quando as raízes são complexas, elas podem ser escritas na forma:
r = alpha pm beta i
No nosso caso:
alpha = -48 = -12 e beta = raiz2568 = 168 = 2
Então, as raízes são:
r = -12 pm 2i

Passo 5

Com raízes complexas, a solução geral da EDO é dada por:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Substituindo alpha = -12 e beta = 2 :
y(t) = e^-12 t ( C1 cos(2t) + C2 sin(2t) )

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 e C2 .
Primeiro, para t = 0 :
y(0) = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) = 1 cdot (C1 cdot 1 + C2 cdot 0) = C1 = 1
Então, C1 = 1 .

Passo 7

Agora, vamos derivar y(t) para encontrar y'(t) :
y(t) = e^-12 t ( cos(2t) + C2 sin(2t) )
Usando a regra do produto:
y'(t) = e^-12 t ( -12 (cos(2t) + C2 sin(2t)) + (-2 sin(2t) + 2 C2 cos(2t)) )
Simplificando:
y'(t) = e^-12 t ( -12 cos(2t) - 12 C2 sin(2t) - 2 sin(2t) + 2 C2 cos(2t) )
y'(t) = e^-12 t ( (-12 + 2 C2) cos(2t) + (-12 C2 - 2) sin(2t) )
Agora, aplicamos t = 0 e y'(0) = 2 :
y'(0) = e^0 ( (-12 + 2 C2) cos(0) + (-12 C2 - 2) sin(0) ) = (-12 + 2 C2) = 2
Resolvendo para C2 :
-12 + 2 C2 = 2 implies 2 C2 = 2 + 12 = 52 implies C2 = 54

Resposta

Então, a solução da EDO com as condições iniciais dadas é:
y(t) = e^-12 t ( cos(2t) + 54 sin(2t) )

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