Resolva as seguintes E.D.Os homogeneas;
y^prime prime+k^2 y=0 onde k é um número real.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) homogênea que é y'' + k^2 y = 0 . Aqui, k é um número real. A matéria que estamos lidando é Equações Diferenciais Ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de solução para EDOs lineares homogêneas, especificamente encontrando as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da EDO. Para uma equação da forma y'' + a y' + b y = 0 , a equação característica é r^2 + a r + b = 0 . No nosso caso, a = 0 e b = k^2 . Então, a equação característica fica:
r^2 + k^2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar as raízes r . Subtraindo k^2 de ambos os lados:
r^2 = -k^2
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
r = pm i k
Aqui, i é a unidade imaginária, onde i^2 = -1 .

Passo 4

As raízes que encontramos são complexas e conjugadas ( r = i k e r = -i k ). Para EDOs com raízes complexas alpha pm i beta , a solução geral é dada por:
y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
No nosso caso, alpha = 0 e beta = k , então a expressão simplifica para:
y(x) = C1 cos(k x) + C2 sin(k x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' + k^2 y = 0 é:
y(x) = C1 cos(k x) + C2 sin(k x)
onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.

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