Resolva as seguintes E.D.Os homogeneas;
onde
é um número real.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) homogênea que é
. Aqui,
é um número real. A matéria que estamos lidando é Equações Diferenciais Ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de solução para EDOs lineares homogêneas, especificamente encontrando as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da EDO. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar as raízes
. Subtraindo
de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
Aqui,
é a unidade imaginária, onde
.
Passo 4
As raízes que encontramos são complexas e conjugadas (
e
). Para EDOs com raízes complexas
, a solução geral é dada por:
No nosso caso,
e
, então a expressão simplifica para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.