Calcule os limites
lim x -infty(raizx^2-2 x-raizx^2+2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
lim x -infty(raizx^2-2 x-raizx^2+2 x)
Isso envolve limites e funções com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro do limite, especialmente por causa dos termos com x^2 e raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a diferença das raízes. Uma técnica útil é racionalizar a expressão. Para isso, multiplicamos e dividimos pela soma das raízes:
raizx^2-2x - raizx^2+2x = (raizx^2-2x - raizx^2+2x) (raizx^2-2x + raizx^2+2x)raizx^2-2x + raizx^2+2x

Passo 3

No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
(raizx^2-2x)^2 - (raizx^2+2x)^2 = (x^2 - 2x) - (x^2 + 2x) = -4x
Então, a expressão fica:
-4xraizx^2-2x + raizx^2+2x

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador à medida que x tende a -infty . Para facilitar, fatoramos x^2 dentro das raízes:
raizx^2-2x = raizx^2(1 - 2x) = |x| raiz1 - 2x = -x (1 - 1x)
raizx^2+2x = raizx^2(1 + 2x) = |x| raiz1 + 2x = -x (1 + 1x)
Aqui, usamos que x é negativo ( x -infty ), então |x| = -x .

Passo 5

Substituindo no denominador:
raizx^2-2x + raizx^2+2x = -x (1 - 1x) + (-x) (1 + 1x) = -x + xx - x - xx = -2x

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original:
-4x-2x = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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