Determine o fluxo de
através da parte do cilindro que está acima do plano e entre os planos e , com orientação para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da parte do cilindro que está acima do plano e entre os planos e .
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de fluxo em cálculo vetorial, que envolve integrar o campo vetorial sobre uma superfície, além de saber como parametrizar superfícies cilíndricas e calcular normais a essas superfícies. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície pela qual queremos calcular o fluxo. A equação representa um cilindro elíptico. Podemos reescrevê-la como , o que mostra que é um cilindro com eixo ao longo do eixo , com semi-eixos de 1 na direção e 2 na direção .
Como estamos considerando apenas a parte acima do plano , será positivo. E também estamos limitando entre -2 e 2.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Podemos usar coordenadas paramétricas onde varia de -2 a 2, e um ângulo para descrever a circunferência em cada seção de .
A parametrização fica:
Aqui, e garantem que .
Passo 4
Com a parametrização em mãos, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Como queremos a orientação para cima, vamos garantir que a componente z do vetor normal seja positiva. Então, tomamos:
n = (0, 2costheta, sintheta)
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n . Primeiro, substituímos a parametrização na função F :
F(x, y, z) = sin(x y z) i + x^2 y j + z^2 e^x / 5 k
F(r(x, theta)) = sin(x costheta cdot 2sintheta) i + x^2 costheta j + (2sintheta)^2 e^x / 5 k
= sin(2x costheta sintheta) i + x^2 costheta j + 4sin^2theta e^x / 5 k