Determine o fluxo de
F(x, y, z)=sin (x y z) i+x^2 y j+z^2 e^x / 5 k
através da parte do cilindro 4 y^2+z^2=4 que está acima do plano x y e entre os planos x=-2 e y=2, com orientação para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = sin(x y z) i + x^2 y j + z^2 e^x / 5 k através da parte do cilindro 4y^2 + z^2 = 4 que está acima do plano xy e entre os planos x = -2 e x = 2 .
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de fluxo em cálculo vetorial, que envolve integrar o campo vetorial sobre uma superfície, além de saber como parametrizar superfícies cilíndricas e calcular normais a essas superfícies. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície pela qual queremos calcular o fluxo. A equação 4y^2 + z^2 = 4 representa um cilindro elíptico. Podemos reescrevê-la como y^21 + z^24 = 1 , o que mostra que é um cilindro com eixo ao longo do eixo x , com semi-eixos de 1 na direção y e 2 na direção z .
Como estamos considerando apenas a parte acima do plano xy , z será positivo. E também estamos limitando x entre -2 e 2.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Podemos usar coordenadas paramétricas onde x varia de -2 a 2, e um ângulo theta para descrever a circunferência em cada seção de x .
A parametrização fica:
r(x, theta) = ( x, costheta, 2sintheta )
Aqui, y = costheta e z = 2sintheta garantem que 4y^2 + z^2 = 4 .

Passo 4

Com a parametrização em mãos, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para isso, calculamos as derivadas parciais de r em relação a x e theta :
rx = partial rpartial x = (1, 0, 0)
rtheta = partial rpartial theta = (0, -sintheta, 2costheta)
O vetor normal n é o produto vetorial desses dois vetores:
n = rx times rtheta = i & j & k 1 & 0 & 0 0 & -sintheta & 2costheta = (0, -2costheta, -sintheta)
Como queremos a orientação para cima, vamos garantir que a componente z do vetor normal seja positiva. Então, tomamos:
n = (0, 2costheta, sintheta)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n . Primeiro, substituímos a parametrização na função F :
F(x, y, z) = sin(x y z) i + x^2 y j + z^2 e^x / 5 k
F(r(x, theta)) = sin(x costheta cdot 2sintheta) i + x^2 costheta j + (2sintheta)^2 e^x / 5 k
= sin(2x costheta sintheta) i + x^2 costheta j + 4sin^2theta e^x / 5 k
Agora, o produto escalar:
F cdot n = sin(2x costheta sintheta) cdot 0 + x^2 costheta cdot 2costheta + 4sin^2theta e^x / 5 cdot sintheta
= 2x^2 cos^2theta + 4sin^3theta e^x / 5

Passo 6

Finalmente, configuramos a integral dupla para o fluxo:
Fluxo = integral duplaS F cdot n , dS = integralx=-2^2 integraltheta=0^pi (2x^2 cos^2theta + 4sin^3theta e^x / 5) cdot |n| , dtheta , dx
Calculando o módulo de n :
|n| = raiz0^2 + (2costheta)^2 + (sintheta)^2 = raiz4cos^2theta + sin^2theta = raiz3cos^2theta + 1
Mas, para simplificar, já que a parametrização está feita com theta de 0 a pi , podemos integrar diretamente:
Fluxo = integral-2^2 integral0^pi (2x^2 cos^2theta + 4sin^3theta e^x / 5) cdot raiz4cos^2theta + sin^2theta , dtheta , dx
Esse integral pode ser resolvido numericamente ou utilizando técnicas avançadas de integração, dependendo do contexto do curso.

Resposta

O fluxo do campo vetorial F(x, y, z) através da parte do cilindro dada é igual à integral dupla:
Fluxo = integral-2^2 integral0^pi (2x^2 cos^2theta + 4sin^3theta e^x / 5) cdot raiz4cos^2theta + sin^2theta , dtheta , dx

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