Considere a função
f(x, y)=cc 6 x^3+2 x y^23 x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) -2, & se (x, y)=(0,0)
f é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac6x^3+2x y^23x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] -2,&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis em um ponto. Para verificar se f é contínua em (0,0), precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
e comparar esse valor com f(0,0)=-2.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), note que o numerador fatoriza como
6x^3+2xy^2=2x,(3x^2+y^2)
Logo,
f(x,y) =2x,(3x^2+y^2)3x^2+y^2 =2x

Passo 3

Como para todo (x,y)neq(0,0) vale f(x,y)=2x, temos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =lim(x,y)to(0,0)2x =2cdot0 =0

Passo 4

Comparando o limite com o valor no ponto,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 e f(0,0)=-2
Como esses valores são diferentes, f não é contínua em (0,0).

Resposta

f não é contínua em (0,0), pois
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0neq f(0,0)=-2

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