Calcule os limites
lim x 0 sen(4 x) sen(3 x)x^2 cos 2 x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo: calcular o limite de sin(4x) cdot sin(3x)x^2 cos(2x) quando x se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites e algumas propriedades básicas das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que, quando x está próximo de 0, a função seno pode ser aproximada por seu argumento. Ou seja, sin(kx) approx kx para k constante. Isso é útil para simplificar expressões envolvendo senos de ângulos pequenos.

Passo 3

Aplicando essa ideia na expressão do numerador:
sin(4x) approx 4x e sin(3x) approx 3x
Então, multiplicando:
sin(4x) cdot sin(3x) approx 4x cdot 3x = 12x^2

Passo 4

Agora, vamos olhar para o denominador x^2 cos(2x) . Sabemos que cos(2x) quando x se aproxima de 0, tende a 1, porque o cosseno de 0 é 1 e as variações próximas a 0 são mínimas.
cos(2x) approx 1
Portanto, o denominador fica aproximadamente:
x^2 cdot 1 = x^2

Passo 5

Substituindo as aproximações no limite original:
limx to 0 sin(4x) cdot sin(3x)x^2 cos(2x) approx limx to 0 12x^2x^2 = limx to 0 12 = 12

Resposta

O limite é 12.

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