3^circ ) Calcule os limites:
lim t 1 t^3-1raizt-1

Passo 1

O enunciado pede o limite
limtto1t^3-1raizt-1
Note que ao substituir t=1 temos forma indeterminada tfrac00. Para resolver, vamos usar manipulação algébrica: fatoração do numerador e racionalização do denominador.

Passo 2

Fatoramos o numerador pela diferença de cubos:
t^3-1 = (t-1)(t^2+t+1)
Assim a expressão fica
t^3-1raizt-1 = (t-1)(t^2+t+1)raizt-1

Passo 3

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por raizt+1:
(t-1)(t^2+t+1)raizt-1 cdot raizt+1raizt+1 = (t-1)(t^2+t+1)(raizt+1)(raizt-1)(raizt+1)
Como (raizt-1)(raizt+1)=t-1, podemos cancelar o fator t-1:
(t-1)(t^2+t+1)(raizt+1)t-1 = (t^2+t+1)(raizt+1)

Passo 4

Agora a função está livre de indeterminação, basta substituir t=1:
(t^2+t+1)(raizt+1)|t=1 = (1+1+1),(1+1) = 3cdot2 =6

Resposta

O valor do limite é 6.

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