Calcule os limites.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular três limites quando t→∞: o de um quociente racional (1+t^2)/(1-t^2), o de e o de um quociente com exponencial arctg t. Para isso, usaremos propriedades de limites de funções polinomiais, o limite clássico de em infinito e o comportamento de exponenciais decrescentes.

Passo 2

Para calcular
limttoinfty1+t^21-t^2,
fatoramos t^2 no numerador e no denominador:
1+t^21-t^2 =t^2l(1+tfrac1t^2r)-t^2l(1-tfrac1t^2r) =1+tfrac1t^2-l(1-tfrac1t^2r)
Como tfrac1t^2to0 quando \t\to∞, o quociente tende a -1.

Passo 3

Para , lembramos que a função se aproxima de limttoinftyarctg t quando arctg x. Portanto,

Passo 4

Para
limttoinfty1-e^-2tt,
podemos decompor:
1-e^-2tt = 1t - e^-2tt
Sabemos que 1/tto0 e e^-2t/tto0 quando ttoinfty. Logo, o limite é 0.

Resposta

(-1,,tfracpi2,,0)

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