Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de frações parciais. O enunciado pede para integrar a função racional:
Para isso, vamos precisar entender como decompor frações em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os graus do numerador e do denominador. O grau é o maior expoente de
em cada polinômio.
- Numerador:
→ grau 3 - Denominador:
→ grau 3
Quando o grau do numerador é igual ou maior que o do denominador, a gente precisa fazer uma divisão polinomial antes de decompor em frações parciais.
Passo 3
Vamos dividir o numerador pelo denominador:
Dividendo:
Divisor:
Passo da divisão:
- Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:
. - Multiplique o divisor por esse resultado:
. - Subtraia esse resultado do dividendo:
Agora, temos:
Passo 4
Vamos agora fatorar o denominador do termo restante
.
Primeiro, fatoramos o denominador:
Agora, vamos fatorar
:
Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Então,
Portanto, o denominador fica:
Passo 5
Agora, podemos escrever a fração parcial:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 6
Para encontrar
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação:
- Para
:
Simplificando:
- Para
:
Simplificando:
- Para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na fração parcial:
Simplificando:
Passo 8
Agora, voltamos à integral original, que agora ficou:
Vamos integrar termo por termo:
Resposta
Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.