Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
integral 5 x^3-6 x^2-68 x-16x^3-2 x^2-8 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de frações parciais. O enunciado pede para integrar a função racional:
integral 5 x^3 - 6 x^2 - 68 x - 16x^3 - 2 x^2 - 8 x , dx
Para isso, vamos precisar entender como decompor frações em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os graus do numerador e do denominador. O grau é o maior expoente de x em cada polinômio.
  • Numerador: 5x^3 - 6x^2 - 68x - 16 → grau 3
  • Denominador: x^3 - 2x^2 - 8x → grau 3
Quando o grau do numerador é igual ou maior que o do denominador, a gente precisa fazer uma divisão polinomial antes de decompor em frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir o numerador pelo denominador:
Dividendo: 5x^3 - 6x^2 - 68x - 16
Divisor: x^3 - 2x^2 - 8x
Passo da divisão:
  1. Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: 5x^3x^3 = 5.
  2. Multiplique o divisor por esse resultado: 5(x^3 - 2x^2 - 8x) = 5x^3 - 10x^2 - 40x.
  3. Subtraia esse resultado do dividendo:
(5x^3 - 6x^2 - 68x - 16) - (5x^3 - 10x^2 - 40x) &= 0x^3 + 4x^2 - 28x - 16
Agora, temos:
5 x^3 - 6 x^2 - 68 x - 16x^3 - 2 x^2 - 8 x = 5 + 4x^2 - 28x - 16x^3 - 2x^2 - 8x

Passo 4

Vamos agora fatorar o denominador do termo restante 4x^2 - 28x - 16x^3 - 2x^2 - 8x.
Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3 - 2x^2 - 8x = x(x^2 - 2x - 8)
Agora, vamos fatorar x^2 - 2x - 8:
Procuramos dois números que multiplicados dão -8 e somados dão -2. Esses números são -4 e 2.
Então,
x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)
Portanto, o denominador fica:
x(x - 4)(x + 2)

Passo 5

Agora, podemos escrever a fração parcial:
4x^2 - 28x - 16x(x - 4)(x + 2) = Ax + Bx - 4 + Cx + 2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 6

Para encontrar A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x - 4)(x + 2):
4x^2 - 28x - 16 = A(x - 4)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 4)
Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação:
  1. Para x = 0:
4(0)^2 - 28(0) - 16 = A(0 - 4)(0 + 2) + B cdot 0 (0 + 2) + C cdot 0 (0 - 4)
Simplificando:
-16 = A(-4)(2) Rightarrow -16 = -8A Rightarrow A = 2
  1. Para x = 4:
4(4)^2 - 28(4) - 16 = A(4 - 4)(4 + 2) + B cdot 4 (4 + 2) + C cdot 4 (4 - 4)
Simplificando:
64 - 112 - 16 = B cdot 4 cdot 6 Rightarrow -64 = 24B Rightarrow B = -6424 = -83
  1. Para x = -2:
4(-2)^2 - 28(-2) - 16 = A(-2 - 4)(-2 + 2) + B(-2)(-2 + 2) + C(-2)(-2 - 4)
Simplificando:
16 + 56 - 16 = C(-2)(-6) Rightarrow 56 = 12C Rightarrow C = 5612 = 143

Passo 7

Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos de volta na fração parcial:
4x^2 - 28x - 16x(x - 4)(x + 2) = 2x + -83x - 4 + 143x + 2
Simplificando:
4x^2 - 28x - 16x(x - 4)(x + 2) = 2x - 83(x - 4) + 143(x + 2)

Passo 8

Agora, voltamos à integral original, que agora ficou:
integral (5 + 2x - 83(x - 4) + 143(x + 2)) , dx
Vamos integrar termo por termo:
  1. integral 5 , dx = 5x
  2. integral 2x , dx = 2 ln |x|
  3. integral -83(x - 4) , dx = -83 ln |x - 4|
  4. integral 143(x + 2) , dx = 143 ln |x + 2|

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
5x + 2 ln |x| - 83 ln |x - 4| + 143 ln |x + 2| + C
Onde C é a constante de integração.

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