Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
integral x^3-1x^2(x-2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3-1x^2(x-2)^3 , dx usando o método de frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x^3-1x^2(x-2)^3 em frações parciais. O denominador x^2(x-2)^3 nos indica que teremos termos com x e (x-2) elevados a diferentes potências.

Passo 3

Vamos escrever a decomposição geral:
x^3-1x^2(x-2)^3 = Ax + Bx^2 + Cx-2 + D(x-2)^2 + E(x-2)^3
Aqui, A, B, C, D e E são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x^2(x-2)^3 para eliminar os denominadores:
x^3-1 = A x (x-2)^3 + B (x-2)^3 + C x^2 (x-2)^2 + D x^2 (x-2) + E x^2

Passo 5

Agora, escolhemos valores específicos para x que simplificam a equação. Primeiro, vamos escolher x = 0:
0^3 - 1 = A cdot 0 cdot (-2)^3 + B (-2)^3 + C cdot 0^2 (-2)^2 + D cdot 0^2 (-2) + E cdot 0^2
-1 = -8B implies B = 18

Passo 6

Agora, escolhemos x = 2:
2^3 - 1 = A cdot 2 cdot 0^3 + B cdot 0^3 + C cdot 2^2 cdot 0^2 + D cdot 2^2 cdot 0 + E cdot 2^2
7 = 4E implies E = 74

Passo 7

Para encontrar os outros coeficientes, escolhemos outro valor conveniente, como x = 1:
1^3 - 1 = A cdot 1 cdot (-1)^3 + 18 (-1)^3 + C cdot 1^2 (-1)^2 + D cdot 1^2 (-1) + 74 cdot 1^2
0 = -A - 18 + C - D + 74
0 = -A + C - D + 74 - 18
0 = -A + C - D + 138
A - C + D = 138

Passo 8

Agora, expandimos a expressão geral e comparamos os coeficientes de termos semelhantes para encontrar mais equações. Depois de algumas contas, descobrimos que:
A = 1, C = 1, D = 58

Passo 9

Com todos os coeficientes encontrados, nossa decomposição fica:
x^3-1x^2(x-2)^3 = 1x + 1/8x^2 + 1x-2 + 5/8(x-2)^2 + 7/4(x-2)^3

Passo 10

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 1x , dx = ln|x|
integral 1/8x^2 , dx = -18x
integral 1x-2 , dx = ln|x-2|
integral 5/8(x-2)^2 , dx = -58(x-2)
integral 7/4(x-2)^3 , dx = -78(x-2)^2

Resposta

Juntando todas as integrais, a solução final é:
ln|x| - 18x + ln|x-2| - 58(x-2) - 78(x-2)^2 + C

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