Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. O denominador
nos indica que teremos termos com
e
elevados a diferentes potências.
Passo 3
Vamos escrever a decomposição geral:
Aqui,
,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, escolhemos valores específicos para
que simplificam a equação. Primeiro, vamos escolher
:
Passo 6
Agora, escolhemos
:
Passo 7
Para encontrar os outros coeficientes, escolhemos outro valor conveniente, como
:
Passo 8
Agora, expandimos a expressão geral e comparamos os coeficientes de termos semelhantes para encontrar mais equações. Depois de algumas contas, descobrimos que:
Passo 9
Com todos os coeficientes encontrados, nossa decomposição fica:
Passo 10
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Resposta
Juntando todas as integrais, a solução final é: