Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. O denominador nos indica que teremos termos com e elevados a diferentes potências.

Passo 3

Vamos escrever a decomposição geral:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, escolhemos valores específicos para que simplificam a equação. Primeiro, vamos escolher :

Passo 6

Agora, escolhemos :

Passo 7

Para encontrar os outros coeficientes, escolhemos outro valor conveniente, como :

Passo 8

Agora, expandimos a expressão geral e comparamos os coeficientes de termos semelhantes para encontrar mais equações. Depois de algumas contas, descobrimos que:

Passo 9

Com todos os coeficientes encontrados, nossa decomposição fica:

Passo 10

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Juntando todas as integrais, a solução final é:

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