Calcule os limites:
lim x 2 2 x^2-9 x+10x^2-11 x+18

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx 2 2x^2 - 9x + 10x^2 - 11x + 18. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a função, possivelmente fatorando o numerador e o denominador para cancelar termos que estão causando uma indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
2(2)^2 - 9(2) + 10(2)^2 - 11(2) + 18 = 8 - 18 + 104 - 22 + 18 = 00
Obtivemos uma indeterminação do tipo 00, o que significa que podemos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador 2x^2 - 9x + 10. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 times 10 = 20 e que somados dão -9. Esses números são -5 e -4.
Então, fatorando:
2x^2 - 9x + 10 = (2x - 5)(x - 2)
Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 11x + 18. Procuramos dois números que multiplicados dão 18 e que somados dão -11. Esses números são -9 e -2.
Fatorando:
x^2 - 11x + 18 = (x - 9)(x - 2)

Passo 4

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos simplificar a expressão original:
2x^2 - 9x + 10x^2 - 11x + 18 = (2x - 5)(x - 2)(x - 9)(x - 2) = 2x - 5x - 9
Note que cancelamos o termo (x - 2) que aparecia tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 5

Com a expressão simplificada 2x - 5x - 9, agora podemos calcular o limite substituindo x = 2:
limx 2 2x - 5x - 9 = 2(2) - 52 - 9 = 4 - 5-7 = -1-7 = 17

Resposta

O limite é 17.

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