Sejam v(x, t) e w(x, t) soluções dos problemas
c v t t = a ^ 2 v x x , 0 < x < L , t > 0 , v ( 0 , t ) = 0 , v ( L , t ) = 0 , t > 0 , v ( x , 0 ) = f ( x ) , v t ( x , 0 ) = 0 , 0 <= x <= L , c wt t=a^2 wx x, 0<x<L, t>0 w(0, t)=0, w(L, t)=0, t>0 w(x, 0)=0, wt(x, 0)=g(x), 0 <= x <= L
Prove que u(x, t)=v(x, t)+w(x, t) satisfaz
as condições de valores iniciais

Passo 1

O enunciado diz que v(x,t) e w(x,t) satisfazem, cada uma, o problema da onda homogênea em (0,L)times(0,infty) com contorno nulo e condições iniciais distintas:
  • v tem deslocamento inicial f(x) e velocidade inicial nula,
  • w tem deslocamento inicial nulo e velocidade inicial g(x).
Queremos mostrar que, por linearidade da equação da onda,
u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)
é solução da onda em (0,L)times(0,infty) com contorno nulo e condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x)

Passo 2

Verificamos a equação de onda. Como a equação é linear, temos
utt=vtt+wtt
e
uxx=vxx+wxx
Mas v e w satisfazem vtt=a^2vxx e wtt=a^2wxx. Logo,
utt=a^2vxx+a^2wxx=a^2,(vxx+wxx)=a^2uxx,
ou seja, u satisfaz a mesma PDE
utt=a^2uxx

Passo 3

Verificamos as condições de contorno em x=0 e x=L. Como
v(0,t)=0,;w(0,t)=0, v(L,t)=0,;w(L,t)=0,
temos
u(0,t)=v(0,t)+w(0,t)=0, u(L,t)=v(L,t)+w(L,t)=0

Passo 4

Por fim, conferimos as condições iniciais em t=0. Para o deslocamento inicial:
u(x,0)=v(x,0)+w(x,0)=f(x)+0=f(x)
Para a velocidade inicial:
ut(x,0)=vt(x,0)+wt(x,0)=0+g(x)=g(x)

Resposta

Assim, u(x,t)=v(x,t)+w(x,t) satisfaz a equação
utt=a^2uxx,
os contornos u(0,t)=u(L,t)=0 e as condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x)

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