Calcule os limites:
lim x 0 sen(2 x) tan (5 x)x^2 cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0sin(2x)tan(5x)x^2cos(2x). Esse problema cai no tema de limites de funções trigonométricas e vamos usar equivalências notáveis para xto0.

Passo 2

Para xto0 valem as seguintes equivalências notáveis, que vêm da expansão em série de Taylor ou da definição de limite:
sin(x)sim x, tan(x)sim x e cos(x)sim1. Essas expressões dizem que as funções se comportam como seus argumentos (ou 1, no caso do cosseno) quando x é bem pequeno.

Passo 3

Aplicando essas equivalências ao nosso limite, obtemos:

$$
\frac{\sin(2x)\tan(5x)}{x^2\cos(2x)}
\sim
\frac{(2x),(5x)}{x^2\cdot1}

\frac{10x2}{x2}
=10
$$
Ou seja, a expressão tende a 10 quando sin(2x)tan(5x)x^2cos(2x) sim (2x),(5x)x^2cdot1 = 10x^2x^2 =10 se aproxima de zero.

Resposta

10

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