Calcule os limites.
lim x pi e^sen x-1x-pi

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtopie^sin x-1x-pi
Este é um caso de forma indeterminada 00, pois ao substituir x=pi temos sinpi=0 e x-pi=0. Vamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que
limxto af(x)g(x)=limxto af'(x)g'(x)
sempre que o limite das derivadas exista.

Passo 2

Verificamos a indeterminação:
e^sinpi-1 = e^0 - 1 = 0, pi-pi = 0,
logo é tfrac00. Podemos então aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos a derivada do numerador e do denominador:
  • Numerador f(x)=e^sen x-1 tem derivada
f'(x)=ddxl(e^sen xr) = e^sen xcdotcos x
  • Denominador g(x)=x-pi tem derivada
g'(x)=1

Passo 4

Pelo teorema de L’Hôpital,
limxtopie^sin x-1x-pi =limxtopie^sin xcos x1 =e^sinpicospi =e^0cdot(-1) =-1

Resposta

-1

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