Calcule os limites
lim t 0(e^-3 t i+t^2sen^2(t) j+cos (2 t) k)

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando t to 0, do vetor
e^-3t,i ;+;t^2sin^2(t),j;+;cos(2t),k
Como o limite de uma função vetorial é calculado componente a componente, vamos usar propriedades de limites e a continuidade das funções envolvidas.

Passo 2

Para a componente em i temos a função e^-3t, que é contínua. Logo,
limtto 0e^-3t = e^0 = 1

Passo 3

Para a componente em j temos
t^2sin^2(t) = l(tsin(t)r)^2
Usando o limite fundamental limtto 0sin(t)t=1, deduzimos que
limtto 0tsin(t) = 1 Longrightarrow limtto 0l(tsin(t)r)^2 = 1^2 = 1

Passo 4

Para a componente em k, a função cos(2t) é contínua, de modo que
limtto 0cos(2t) = cos(0) = 1

Resposta

O limite do vetor é
limt 0l(e^-3t,i+tfract^2sin^2(t),j+cos(2t),kr) = 1,i+1,j+1,k

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