Encontre a massa e o centro de gravidade da lâmina.
Uma lâmina com densidade de<a(x, y)=x y, localizada no primeiro quadrante e limitada pelo círculo x^2+y^2=a^2 e os eixos de coordenadas.

Passo 1

O enunciado dá uma lâmina ocupando o primeiro quadrante limitada pelos eixos x>=0, y>=0 e pelo círculo x^2+y^2=a^2, com densidade superficial de<a(x,y)=xy. Precisamos calcular a massa
M = integral duplaR de<a(x,y),dA
e as coordenadas do centro de gravidade
bar x = 1M integral duplaR x,de<a(x,y),dA, bar y = 1M integral duplaR y,de<a(x,y),dA
Como a região é um setor circular de ângulo pi/2, vamos usar coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
com 0<= r<= a e 0<=theta<=tfracpi2.

Passo 2

Calcular a massa M. Em coordenadas polares,
de<a(x,y),dA = (rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta = r^3costhetasintheta,dr,dtheta
Logo
M = integral0^pi/2!integral0^a r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 3

Separando as integrais em r e theta:
integral0^a r^3,dr = a^44, integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta = 12
Multiplicando, obtemos
M = a^44cdot12 = a^48

Passo 4

Calcular bar x. Temos
integral duplaR x,de<a(x,y),dA = integral duplaR x^2y,dA
em polares
x^2y,dA = (rcostheta)^2(rsintheta),r,dr,dtheta = r^4cos^2thetasintheta,dr,dtheta
Então
integral0^ar^4,dr = a^55, integral0^pi/2cos^2thetasintheta,dtheta =integralu=1^0u^2(-du)=integral0^1u^2du=13,
onde u=costheta. Logo o momento em x é
a^55cdot13 = a^515,
e por fim
bar x = 1M,a^515 = tfraca^515tfraca^48 = 8a15

Passo 5

Calcular bar y. Por simetria do processo (trocando costheta por sintheta), obtemos o mesmo valor:
bar y = 8a15

Resposta

Massa:
M = a^48
Centro de gravidade:
(bar x,bar y) = gl(8a15,,8a15gr)

Exercícios relacionados