Encontre a massa e o centro de gravidade da lâmina.
Uma lâmina com densidade
, localizada no primeiro quadrante e limitada pelo círculo
e os eixos de coordenadas.
Uma lâmina com densidade
Passo 1
O enunciado dá uma lâmina ocupando o primeiro quadrante limitada pelos eixos
,
e pelo círculo
, com densidade superficial
. Precisamos calcular a massa
e as coordenadas do centro de gravidade
Como a região é um setor circular de ângulo
, vamos usar coordenadas polares:
com
e
.
Passo 2
Calcular a massa
. Em coordenadas polares,
Logo
Passo 3
Separando as integrais em
e
:
Multiplicando, obtemos
Passo 4
Calcular
. Temos
em polares
Então
onde
. Logo o momento em
é
e por fim
Passo 5
Calcular
. Por simetria do processo (trocando
por
), obtemos o mesmo valor:
Resposta
Massa:
Centro de gravidade: