Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
r(t)=(sen(t), 3, cos (t))

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica em R^3 dada por
r(t) = (sin(t),,3,,cos(t)),
indicando com setas a direção em que t cresce. O conteúdo envolvido é curvas parametrizadas em 3D, e vamos precisar reconhecer o plano em que ela vive, identificar sua forma (círculo) e determinar sua orientação usando a derivada.

Passo 2

Observando a segunda componente, vemos que
y(t)=3
é constante. Logo, toda a curva está contida no plano
y=3

Passo 3

As outras duas componentes satisfazem
x(t)=sin(t), z(t)=cos(t),
então
x^2+z^2 = sin^2(t)+cos^2(t)=1
Isto mostra que, no plano y=3, a projeção da curva é um círculo de raio 1 centrado em (0,3,0).

Passo 4

Para determinar a direção do sentido de percorrimento, calculamos
r,'(t) = (cos(t),,0,,-sin(t))
Em t=0 temos r(0)=(0,3,1) e
r,'(0)=(1,0,0),
isto é, a curva parte de (0,3,1) movendo-se no sentido do eixo x positivo. À medida que t cresce, passamos por
(0,3,1)to(1,3,0)to(0,3,-1)to(-1,3,0)to(0,3,1),
descrevendo o círculo com orientação “horária” quando visto do lado de y>3.

Passo 5

No esboço, desenhe o plano paralelo a xz em y=3. Trace um círculo de raio 1 e centro em (0,3,0). Marque os pontos correspondentes a
t=0l(0,3,1r), t=tfracpi2l(1,3,0r), t=pil(0,3,-1r),dots
e coloque setas seguindo a sequência desses pontos, indicando o sentido de crescimento de t.

Resposta

A curva é um círculo de raio 1 no plano y=3, centrado em (0,3,0). Começa em (0,3,1) quando t=0 e segue, em sentido horário (visto de quem olha de y>3), passando por (1,3,0), (0,3,-1), (-1,3,0) e retorna a (0,3,1). As setas no esboço devem acompanhar essa orientação.

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