Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva paramétrica em
dada por
indicando com setas a direção em que
cresce. O conteúdo envolvido é curvas parametrizadas em 3D, e vamos precisar reconhecer o plano em que ela vive, identificar sua forma (círculo) e determinar sua orientação usando a derivada.
Passo 2
Observando a segunda componente, vemos que
é constante. Logo, toda a curva está contida no plano
Passo 3
As outras duas componentes satisfazem
então
Isto mostra que, no plano
, a projeção da curva é um círculo de raio
centrado em
.
Passo 4
Para determinar a direção do sentido de percorrimento, calculamos
Em
temos
e
isto é, a curva parte de
movendo-se no sentido do eixo
positivo. À medida que
cresce, passamos por
,
descrevendo o círculo com orientação “horária” quando visto do lado de .
descrevendo o círculo com orientação “horária” quando visto do lado de
Passo 5
No esboço, desenhe o plano paralelo a
em
. Trace um círculo de raio
e centro em
. Marque os pontos correspondentes a
e coloque setas seguindo a sequência desses pontos, indicando o sentido de crescimento de
.
Resposta
A curva é um círculo de raio
no plano
, centrado em
. Começa em
quando
e segue, em sentido horário (visto de quem olha de
), passando por
,
,
e retorna a
. As setas no esboço devem acompanhar essa orientação.