Calcule os limites:
lim x -infty cos (x)3 x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -inftycos(x)3x
O conteúdo aqui é cálculo de limite de quociente em que o numerador oscila (função cos(x) está sempre entre -1 e 1) e o denominador cresce em módulo até +infty (pois 3xto -infty quando xto -infty). Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para funções revestidas por desigualdades.

Passo 2

Sabemos que, para todo x,
-1 <= cos(x) <= 1
Dividindo essa desigualdade por 3x, notando que para xto -infty temos 3x<0 (o que inverte as desigualdades), obtemos
-13x >= cos(x)3x >= 13x
Em módulo, isso dá
|cos(x)3x| <= 1|3x| = 13|x|

Passo 3

Quando xto -infty, temos |x|to +infty e, portanto,
13|x|;longrightarrow;0
Pelo Teorema do Confronto, como
-13|x|;<=;cos(x)3x;<=;13|x|
e ambos os limites laterais valem 0, concluímos que
limxto -inftycos(x)3x=0

Resposta

0

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