Dada I=integral0^1 integral4 x^4 e^-y^2 d y d x, faça o que se pede:
Esboce a região de integração D da integral I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar a região de integração D da integral dupla I = integral0^1 integral4x^4 e^-y^2 , dy , dx . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração para x e y e como eles se relacionam no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites de x . A integral externa vai de x = 0 até x = 1 . Isso significa que, no eixo x , estamos considerando o intervalo entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, para cada valor de x entre 0 e 1, y varia de y = 4x até y = 4 . Então, a parte interna da integral nos diz que para cada x , o y começa na linha y = 4x e vai até a linha horizontal y = 4 .

Passo 4

Vamos desenhar isso no plano xy . Primeiro, desenhe o eixo x de 0 a 1. Em seguida, desenhe a linha y = 4x , que é uma reta que passa pela origem (0,0) e tem inclinação 4. Depois, desenhe a linha horizontal y = 4 .

Passo 5

A região de integração D é a área que está entre x = 0 e x = 1 , e entre y = 4x e y = 4 . Basicamente, é um trapézio inclinado onde a base inferior é a linha y = 4x e a base superior é a linha y = 4 , limitado entre x = 0 e x = 1 .

Resposta

Então, a região de integração D é o conjunto de pontos no plano xy onde x varia de 0 a 1 e, para cada x , y varia de 4x até 4 . Visualmente, é a área entre a reta y = 4x e a reta horizontal y = 4 , no intervalo de x de 0 a 1.

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