Sabe-se que
é solução particular de
. Então:
a
e
.
c
e
.
d
e
.
b
e
.
e
e
.
a
c
d
b
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial do tipo
e uma forma para uma solução particular
. Nosso objetivo é descobrir os valores de
e
que fazem dessa função uma solução dessa equação. Para isso, vamos usar a teoria de equações diferenciais lineares, especificamente o método dos coeficientes a determinar para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação homogênea associada:
. Para resolver isso, montamos a equação característica:
. Resolvendo essa equação, encontramos as raízes
e
. Então, a solução geral homogênea é
.
Passo 3
Agora, para encontrar uma solução particular
, precisamos considerar o termo do lado direito da equação, que é
. Normalmente, tentaríamos uma solução da forma
. No entanto, como
já é uma solução da equação homogênea (como vimos no Passo 2), precisamos multiplicar por
para garantir a linearidade. Portanto, nossa solução particular assumida vira
.
Passo 4
Comparando com a forma dada na questão
, vemos que
e precisamos multiplicar por
. Como
é uma solução da homogênea,
deve ser igual a 1 para multiplicar por
uma vez, evitando a duplicação de soluções. Assim, temos
.
Passo 5
Agora, para achar
, precisamos substituir
na equação diferencial original e igualar os coeficientes dos termos semelhantes. Após calcular as derivadas e simplificar, encontramos que
.
Resposta
a)
e
.