Sejam p(t) e q(t) funções contínuas em R. Se y(t)=u1(t) cdot y1(t)+u2(t) cdot y2(t) é solução de
cos t y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=e^2 t
gerada pelo método de variação de parâmetros, onde y1(t)=e^2 t sen t e y2(t)=e^2 t cos t sāo soluções fundamentais da equação diferencial homogênea associada, então:
a u1(t)=-sen^2 t e u2(t)=sen t cos t.
d u1(t)=cos t e u2(t)=-sen t.
b u1(t)=t e u2(t)=ln |cos t|.
c u1(t)=sen t cos t e u2(t)=-sen^2 t.
e u1(t)=e^t e u2(t)=e^t-t e^t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre equações diferenciais e o método de variação de parâmetros. Precisamos encontrar as funções u1(t) e u2(t) que fazem y(t) = u1(t) cdot y1(t) + u2(t) cdot y2(t) ser uma solução da equação dada:
cos t cdot y'' + p(t) cdot y' + q(t) cdot y = e^2t
Sabemos que y1(t) = e^2t sin t e y2(t) = e^2t cos t são soluções fundamentais da equação homogênea associada. Vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar u1(t) e u2(t) .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que, no método de variação de parâmetros, assumimos que u1(t) e u2(t) não são constantes, mas sim funções que ajustam a combinação linear das soluções fundamentais para resolver a equação não homogênea. Para isso, vamos derivar y(t) :
y' = u1' y1 + u1 y1' + u2' y2 + u2 y2'
y'' = u1'' y1 + 2 u1' y1' + u1 y1'' + u2'' y2 + 2 u2' y2' + u2 y2''

Passo 3

No método de variação de parâmetros, simplificamos as equações definindo u1' y1 + u2' y2 = 0 . Isso nos ajuda a reduzir a complexidade das derivadas. Com essa condição, a primeira derivada fica:
y' = u1 y1' + u2 y2'

Passo 4

Substituímos y, y', y'' na equação diferencial original:
cos t cdot y'' + p(t) cdot y' + q(t) cdot y = e^2t
Como y(t) é solução, essa igualdade deve ser satisfeita. Após substituir e simplificar, obtemos um sistema de equações para u1' e u2' .

Passo 5

Montamos o sistema:
u1' y1 + u2' y2 = 0
u1' y1' + u2' y2' = e^2tcos t
Isso vem da substituição na equação original e da condição que impusemos. Agora, resolvemos esse sistema para encontrar u1' e u2' .

Passo 6

Resolvendo o sistema, podemos usar determinantes ou métodos de substituição. Após calcular, encontramos:
u1(t) = cos t
u2(t) = -sin t

Resposta

A alternativa correta é:
d) u1(t)=cos t e u2(t)=-sen t .

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