Sejam
e
funções contínuas em
. Se
é solução de
gerada pelo método de variação de parâmetros, onde
e
sāo soluções fundamentais da equação diferencial homogênea associada, então:
a
e
.
d
e
.
b
e
.
c
e
.
e
e
.
a
d
b
c
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre equações diferenciais e o método de variação de parâmetros. Precisamos encontrar as funções
e
que fazem
ser uma solução da equação dada:
Sabemos que
e
são soluções fundamentais da equação homogênea associada. Vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que, no método de variação de parâmetros, assumimos que
e
não são constantes, mas sim funções que ajustam a combinação linear das soluções fundamentais para resolver a equação não homogênea. Para isso, vamos derivar
:
Passo 3
No método de variação de parâmetros, simplificamos as equações definindo
. Isso nos ajuda a reduzir a complexidade das derivadas. Com essa condição, a primeira derivada fica:
Passo 4
Substituímos
na equação diferencial original:
Como
é solução, essa igualdade deve ser satisfeita. Após substituir e simplificar, obtemos um sistema de equações para
e
.
Passo 5
Montamos o sistema:
Isso vem da substituição na equação original e da condição que impusemos. Agora, resolvemos esse sistema para encontrar
e
.
Passo 6
Resolvendo o sistema, podemos usar determinantes ou métodos de substituição. Após calcular, encontramos:
Resposta
A alternativa correta é:
d)
e
.