Determine se a função é diferenciável em .
;

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^2y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para decidir se f é diferenciável em (0,0). Para isso vamos (i) calcular as derivadas parciais em (0,0) e (ii) verificar a definição de diferenciabilidade, isto é
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-l[f(0,0)+L(x,y)r]raizx^2+y^2=0
para o melhor candidato linear L(x,y)=ax+by.]

Passo 2

Calcular partial f/partial x e partial f/partial y em (0,0) por definição:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
pois f(h,0)=0. De modo análogo,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0
Logo o candidato a diferencial em (0,0) é L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0.

Passo 3

Verificar a condição de diferenciabilidade com L(x,y)=0. Para (x,y)neq(0,0),
f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =x^2y^2(x^2+y^2)^3/2
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, isso fica
r^4cos^2thetasin^2theta(r^2)^3/2 =r,cos^2thetasin^2theta,
e como |cos^2thetasin^2theta|<=1 temos
0<=gl|f(x,y)-0raizx^2+y^2gr|<= r;xrightarrow[rto0];0
Portanto o quociente exigido tende a zero.

Resposta

A função é diferenciável em (0,0) e seu diferencial é a aplicação nula.

Exercícios relacionados