Determine se a função é diferenciável em
.
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Passo 1
O enunciado define a função
e pede para decidir se
f é diferenciável em
(0,0) . Para isso vamos (i) calcular as derivadas parciais em
(0,0) e (ii) verificar a definição de diferenciabilidade, isto é
para o melhor candidato linear
L(x,y)=ax+by .]
Passo 2
Calcular
partial f/partial x e
partial f/partial y em
(0,0) por definição:
pois
f(h,0)=0 . De modo análogo,
Logo o candidato a diferencial em
(0,0) é
L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0 .
Passo 3
Verificar a condição de diferenciabilidade com
L(x,y)=0 . Para
(x,y)neq(0,0) ,
Em coordenadas polares
x=rcostheta ,
y=rsintheta , isso fica
e como
|cos^2thetasin^2theta|<=1 temos
Portanto o quociente exigido tende a zero.
Resposta
A função é diferenciável em
(0,0) e seu diferencial é a aplicação nula.