Calcule os limites:
lim x 0 3 x^21-(cos x^22)^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 0 para a função 3x^21-(cos x^22)^2 . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em cálculo, e vamos precisar usar identidades trigonométricas e aproximações de funções trigonométricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador. Sabemos que 1 - cos^2(theta) = sin^2(theta) . Aplicando isso aqui, temos:
1 - (cos x^22)^2 = sin^2(x^22)

Passo 3

Agora, a expressão do limite fica:
limx to 0 3x^2sin^2(x^22)

Passo 4

Para facilitar, vamos lembrar que, quando z é próximo de 0, a função seno pode ser aproximada por sin(z) approx z . Aplicando isso na nossa expressão:
sin(x^22) approx x^22

Passo 5

Elevando ao quadrado ambos os lados da aproximação:
sin^2(x^22) approx (x^22)^2 = x^44

Passo 6

Substituindo essa aproximação no denominador da nossa expressão original:
3x^2sin^2(x^22) approx 3x^2x^44 = 3x^2 times 4x^4 = 12x^2x^4 = 12x^2

Passo 7

Agora, analisando o limite de 12x^2 quando x se aproxima de 0:
limx to 0 12x^2 = +infty
Isso acontece porque, à medida que x fica muito pequeno, o denominador x^2 se aproxima de 0, fazendo com que a fração cresça sem limites.

Resposta

O limite é +infty .

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