Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 para a função
. Esse problema está relacionado ao estudo de limites em cálculo, e vamos precisar usar identidades trigonométricas e aproximações de funções trigonométricas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador. Sabemos que
. Aplicando isso aqui, temos:
Passo 3
Agora, a expressão do limite fica:
Passo 4
Para facilitar, vamos lembrar que, quando
é próximo de 0, a função seno pode ser aproximada por
. Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 5
Elevando ao quadrado ambos os lados da aproximação:
Passo 6
Substituindo essa aproximação no denominador da nossa expressão original:
Passo 7
Agora, analisando o limite de
quando
se aproxima de 0:
Isso acontece porque, à medida que
fica muito pequeno, o denominador
se aproxima de 0, fazendo com que a fração cresça sem limites.
Resposta
O limite é
.