Integral de linha ∫C x^2 y dS pelo segmento da reta y=x da origem até o ponto (2,2).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralC x^2y ,dS
onde C é o segmento de reta definido por y=x que vai de (0,0) até (2,2).
O conteúdo necessário é integral de linha de função escalar em termos de comprimento de arco, usando parametrização.

Passo 2

Parametrizamos C por
vec r(t) = (x(t),y(t)) = (t,,t),
com t variando de 0 a 2. Então
dS = |vec r,'(t)|,dt
Como vec r,'(t) = (1,1), temos
|vec r,'(t)| = raiz1^2+1^2 = raiz2

Passo 3

Na parametrização, x(t)=t e y(t)=t, logo a função a integrar fica
f(x(t),y(t)) = t^2cdot t = t^3
Substituindo em integralC x^2y,dS, obtemos
integralC x^2y,dS = integral0^2 t^3,|vec r,'(t)|,dt = raiz2integral0^2 t^3,dt

Passo 4

Calculamos a integral de potência:
integral0^2 t^3,dt = [t^44]0^2 = 2^44 = 164 = 4
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integralC x^2y,dS = raiz2cdot 4 = 4raiz2

Resposta

4raiz2

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