Encontre a área da região limitada pelas curvas:
28-y-5 x=0, x-y-2=0, y=2 x e y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas retas
;28 - y - 5x = 0 (ou seja, y = 28 - 5x),
;x - y - 2 = 0 (ou seja, y = x - 2),
;y = 2x
e o eixo ;y = 0.
O conteúdo principal é achar interseções para definir vértices e depois calcular a área via integração.

Passo 2

Encontramos todos os pontos de interseção relevantes:
1. ;y=2x com ;y=0 2x=0implies x=0, isto é (0,0).
2. ;y=x-2 com ;y=0 x-2=0implies x=2, isto é (2,0).
3. ;y=2x com ;y=28-5x 2x=28-5ximplies x=4, y=8, ou seja (4,8).
4. ;y=x-2 com ;y=28-5x x-2=28-5ximplies x=5, y=3, ou seja (5,3).

Passo 3

O polígono que limita a região tem vértices, em ordem,
(0,0)to(2,0)to(5,3)to(4,8)to(0,0).
Para calcular a área escolhemos integrar em y, determinando para cada y o x mínimo (reta y=2x) e o x máximo (primeiro reta y=x-2, depois reta y=28-5x).

Passo 4

Para 0<= y<=3:
  • limite esquerdo xrm esq = y/2, pois y=2x.
  • limite direito xrm dir = y+2, pois y=x-2implies x=y+2.
    Para 3<= y<=8:
  • limite esquerdo ainda xrm esq=y/2.
  • limite direito xrm dir=(28-y)/5, pois y=28-5ximplies x=(28-y)/5.

Passo 5

Calculamos a parte de baixo da região:
integral0^3l[(y+2)-tfrac y2r],dy =integral0^3l(tfrac y2+2r),dy =l[tfracy^24+2yr]0^3 =tfrac94+6 =tfrac334

Passo 6

Calculamos a parte de cima da região:
integral3^8l[28-y5- y2r],dy =integral3^8l(285-7y10r),dy =l[28y5-7y^220r]3^8 =354

Passo 7

Somando as duas contribuições,
334+354 =684 =17

Resposta

A área da região é 17.

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