Encontre a área da região limitada pelas curvas:
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas retas
(ou seja,
),
(ou seja,
),
e o eixo .
O conteúdo principal é achar interseções para definir vértices e depois calcular a área via integração.
e o eixo
O conteúdo principal é achar interseções para definir vértices e depois calcular a área via integração.
Passo 2
Encontramos todos os pontos de interseção relevantes:
.
com
dá
, isto é
.
.
com
dá
, isto é
.
.
com
dá
,
, ou seja
.
.
com
dá
,
, ou seja
.
Passo 3
O polígono que limita a região tem vértices, em ordem,
.
Para calcular a área escolhemos integrar em , determinando para cada
o
mínimo (reta
) e o
máximo (primeiro reta
, depois reta
).
Para calcular a área escolhemos integrar em
Passo 4
Para
:
- limite esquerdo
, pois . - limite direito
, pois .
Para: - limite esquerdo ainda
. - limite direito
, pois .
Passo 5
Calculamos a parte de baixo da região:
Passo 6
Calculamos a parte de cima da região:
Passo 7
Somando as duas contribuições,
Resposta
A área da região é
.