Calcule os limites
lim x +infty (2 x-3)^3(3 x-2)^2(2 x+3)^3

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto +infty (2x-3)^3(3x-2)^2(2x+3)^3
Este é um limite de função racional em que o grau do numerador ( 5) é maior que o grau do denominador ( 3). Vamos usar fatoração por x para expor o comportamento dominante.

Passo 2

Observe que
2x - 3 = xl(2 - tfrac3xr), 3x - 2 = xl(3 - tfrac2xr), 2x + 3 = xl(2 + tfrac3xr)

Passo 3

Substituindo na expressão original,
(2x-3)^3(3x-2)^2(2x+3)^3 = l[x(2 - tfrac3x)r]^3,l[x(3 - tfrac2x)r]^2l[x(2 + tfrac3x)r]^3 = x^2cdot (2 - tfrac3x)^3,(3 - tfrac2x)^2(2 + tfrac3x)^3,

Passo 4

Quando xto +infty, temos tfrac3xto 0 e tfrac2xto 0, portanto
limxto +infty(2 - tfrac3x)^3,(3 - tfrac2x)^2(2 + tfrac3x)^3 = 2^3cdot 3^22^3 = 9

Passo 5

Logo a expressão é equivalente a 9x^2 para x grande, e como
9x^2 ;xrightarrow[xto+infty]; +infty,
concluímos que o limite original diverge para +infty.

Resposta

+infty

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