Nos exercícios 45 a 50 , determine a pca da curva que tem a mesma orientação que a curva dada e tem
como ponto de referência.
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$0 \leq t \leq \pi
$0 \leq t \leq \pi
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a pca da curva que tem a mesma orientação que a curva dada e usa
como ponto de referência. A curva está definida pela função vetorial:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar a orientação da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a orientação da curva. Para isso, precisamos encontrar o vetor tangente à curva, que é a derivada de
em relação a
. Vamos calcular
:
Usando a regra do produto, temos:
Passo 3
Agora, queremos uma curva com a mesma orientação que a curva dada e que passa pelo ponto
. Isso significa que devemos usar a orientação dada pelo vetor tangente
no ponto inicial.
No ponto
:
E o vetor tangente:
Passo 4
Para determinar a pca, que interpretamos como a posição cartesiana associada, vamos expressar
em função de
. A partir das componentes de
:
Dividindo as duas equações para eliminar
:
Agora, usando a equação
, substituímos
:
Esta equação relaciona
e
na posição cartesiana.
Resposta
A posição cartesiana associada (pca) da curva é dada por:
Essa equação descreve a curva na orientação desejada, com
como ponto de referência.