Nos exercícios 45 a 50 , determine a pca da curva que tem a mesma orientação que a curva dada e tem t=0 como ponto de referência.
r(t)=e^t cos t i+e^t sen t j;
$0 \leq t \leq \pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a pca da curva que tem a mesma orientação que a curva dada e usa t = 0 como ponto de referência. A curva está definida pela função vetorial:
r(t) = e^t cos t , i + e^t sin t , j, 0 <= t <= pi
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar a orientação da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a orientação da curva. Para isso, precisamos encontrar o vetor tangente à curva, que é a derivada de r(t) em relação a t . Vamos calcular r'(t) :
r'(t) = ddt(e^t cos t) i + ddt(e^t sin t) j
Usando a regra do produto, temos:
r'(t) = e^t (cos t - sin t) , i + e^t (sin t + cos t) , j

Passo 3

Agora, queremos uma curva com a mesma orientação que a curva dada e que passa pelo ponto t = 0 . Isso significa que devemos usar a orientação dada pelo vetor tangente r'(t) no ponto inicial.
No ponto t = 0 :
r(0) = e^0 cos 0 , i + e^0 sin 0 , j = i
E o vetor tangente:
r'(0) = e^0 (cos 0 - sin 0) , i + e^0 (sin 0 + cos 0) , j = i + j

Passo 4

Para determinar a pca, que interpretamos como a posição cartesiana associada, vamos expressar y em função de x . A partir das componentes de r(t) :
x = e^t cos t e y = e^t sin t
Dividindo as duas equações para eliminar e^t :
yx = e^t sin te^t cos t = tan t Rightarrow t = arctan(yx)
Agora, usando a equação x = e^t cos t , substituímos t :
x = e^arctan(yx) cos(arctan(yx))
Esta equação relaciona x e y na posição cartesiana.

Resposta

A posição cartesiana associada (pca) da curva é dada por:
x = e^arctan(yx) cos(arctan(yx))
Essa equação descreve a curva na orientação desejada, com t = 0 como ponto de referência.

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