Calcule integral duplaR sen theta d A, onde R é a região do 1^0 quadrante fora do círculo r=2.
e dentro da cardióide r=2(1+cos theta). Resp: 83.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla integral duplaR sen theta , dA, onde a região R está no primeiro quadrante. Essa região está fora do círculo r=2 e dentro da cardióide r=2(1+cos theta). Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e entender como configurar os limites da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Estamos no primeiro quadrante, ou seja, theta varia de 0 a pi2. Precisamos identificar onde o círculo r=2 está fora da cardióide r=2(1+cos theta) nesse intervalo de theta.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
2 = 2(1+cos theta)
Dividindo ambos os lados por 2:
1 = 1 + cos theta
Assim,
cos theta = 0 Rightarrow theta = pi2
Então, no primeiro quadrante, as duas curvas se encontram em theta = pi2. Isso significa que, para 0 <= theta < pi2, o círculo está fora da cardióide.

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Para cada theta no intervalo 0 a pi2, r varia de 2 (círculo) até 2(1+cos theta) (cardióide). Portanto:
theta in [0,, pi2]
r in [2,, 2(1+cos theta)]

Passo 5

A integral dupla em coordenadas polares fica assim:
integral duplaR sen theta , dA = integral0^pi2 integral2^2(1+cos theta) sen theta cdot r , dr , dtheta
Aqui, lembre que dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral2^2(1+cos theta) sen theta cdot r , dr = sen theta [ r^22 ]2^2(1+cos theta)
Calculando:
= sen theta ( [2(1+cos theta)]^22 - 2^22 )
= sen theta ( 4(1 + 2cos theta + cos^2 theta)2 - 42 )
= sen theta ( 2(1 + 2cos theta + cos^2 theta) - 2 )
= sen theta (4cos theta + 2cos^2 theta)

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^pi2 sen theta (4cos theta + 2cos^2 theta) , dtheta
Vamos separar a integral:
= 4 integral0^pi2 sen theta cos theta , dtheta + 2 integral0^pi2 sen theta cos^2 theta , dtheta
Para resolver essas integrais, usamos substituição:
Para a primeira integral, deixe u = cos theta, então du = -sen theta , dtheta.
4 integral0^pi2 sen theta cos theta , dtheta = 4 [ -cos^2 theta2 ]0^pi2 = 4 ( 0 - (-12) ) = 2
Para a segunda integral, use a mesma substituição:
2 integral0^pi2 sen theta cos^2 theta , dtheta = 2 [ -cos^3 theta3 ]0^pi2 = 2 ( 0 - (-13) ) = 23

Passo 8

Somando as duas partes:
2 + 23 = 63 + 23 = 83

Resposta

A integral dupla vale 83.

Exercícios relacionados