Calcule
, onde R é a região do
quadrante fora do círculo
.
e dentro da cardióide
. Resp:
.
e dentro da cardióide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante. Essa região está fora do círculo
e dentro da cardióide
. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e entender como configurar os limites da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Estamos no primeiro quadrante, ou seja,
varia de
a
. Precisamos identificar onde o círculo
está fora da cardióide
nesse intervalo de
.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Dividindo ambos os lados por 2:
Assim,
Então, no primeiro quadrante, as duas curvas se encontram em
. Isso significa que, para
, o círculo está fora da cardióide.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Para cada
no intervalo
a
,
varia de
(círculo) até
(cardióide). Portanto:
Passo 5
A integral dupla em coordenadas polares fica assim:
Aqui, lembre que
em coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Calculando:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Vamos separar a integral:
Para resolver essas integrais, usamos substituição:
Para a primeira integral, deixe
, então
.
Para a segunda integral, use a mesma substituição:
Passo 8
Somando as duas partes:
Resposta
A integral dupla vale
.